【題目】若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形,且其中一個(gè)等腰三角形的底角是另一個(gè)等腰三角形底角的2倍,我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的黃金線,這個(gè)四邊形叫做黃金四邊形.

(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD=DC,對(duì)角線AC,BD都是黃金線,且AB<AC,CD<BD,求四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù);

(2)如圖2,點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)凇袿上找出所有的點(diǎn)D,使四邊形ABCD的對(duì)角線AC是黃金線(要求:保留作圖痕跡);

(3)在黃金四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度數(shù).

【答案】(1)108°,72°,108°,72°. (2)圖形見(jiàn)解析(3)∠BAD的度數(shù)為80°.

【解析】試題分析:(1)先由對(duì)角線AC是黃金線,可知△ABC是等腰三角形,分兩種情況討論:①AB=BC;②AC=BC.根據(jù)黃金四邊形的定義和四邊形的內(nèi)角和求解即可;

(2)①以A為圓心,AC為半徑畫(huà)弧,交圓O于D1,②以C為圓心,AC為半徑畫(huà)弧,交圓O于D2,③連接AD1,CD1,AD2,CD2.

(3)先根據(jù)∠BAC=30°,算得∠ABC=120°,再分情況討論

i:當(dāng)AC為黃金線則AD=CD,或AD=AC,根據(jù)等腰三角形及黃金四邊形進(jìn)行計(jì)算即可;ii:當(dāng)BD為黃金線時(shí),分三種情況:①當(dāng)AB=AD時(shí),②當(dāng)AB=BD時(shí),當(dāng)AD=dD時(shí)。

試題解析(1)∵在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC是黃金線,

∴△ABC是等腰三角形,

∵AB<AC,

∴AB=BC或AC=BC,

①當(dāng)AB=BC時(shí),

∵AB=AD=DC,

∴AB=BC=AD=DC,

又∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC,

此種情況不符合黃金四邊形定義,

②AC=BC,

同理,BD=BC,

∴AC=BD=BC,易證得△ABD≌△DAC,△CAB≌△BDC,

∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB,∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA,

且∠DCA<∠DCB,

∴∠DAC<∠CAB

又由黃金四邊形定義知:∠CAB=2∠DAC,

設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°,

則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°,

∴∠DAB=∠ADC=3x°,

而四邊形的內(nèi)角和為360°,

∴∠DAB=∠ADC=108°,∠BCD=∠CBA=72°,

答:四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為108°,72°,108°,72°.

(2)由題意作圖為:

(3)∵AB=BC,∠BAC=30°,

∴∠BCA=∠BAC=30°,∠ABC=120°,

。┊(dāng)AC為黃金線時(shí),

∴△ACD是等腰三角形,

∵AB=BC=CD,AC>BC,

∴AD=CD或AD=AC,

當(dāng)AD=CD時(shí),則AB=BC=CD=AD,

又∵AC=AC,

∴△ABC≌△ADC,

如圖3,此種情況不符合黃金四邊形定義,

∴AD≠CD,

當(dāng)AD=AC時(shí),由黃金四邊形定義知,∠ACD=∠D=15°或60°,

此時(shí)∠BAD=180°(不合題意,舍去)或90°(不合題意,舍去);

ⅱ)當(dāng)BD為黃金線時(shí),

∴△ABD是等腰三角形,

∵AB=BC=CD,

∴∠CBD=∠CDB,

①當(dāng)AB=AD時(shí),△BCD≌△BAD,

此種情況不符合黃金四邊形定義;

②當(dāng)AB=BD時(shí),AB=BD=BC=CD,

∴△BCD是等邊三角形,

∴∠CBD=60°,

∴∠A=30°或120°(不合題意,舍去),

∴∠ABC=180°(不合題意,舍去),

此種情況也不符合黃金四邊形定義;

③當(dāng)AD=BD時(shí),設(shè)∠CBD=∠CDB=y°,則∠ABD=∠BAD=(2y)°或,

∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°,

當(dāng)∠ABD=2y°時(shí),y=40,

∴∠BAD=2y=80°;

當(dāng)時(shí),y=80°,

由于∠ADB=180°-40°-40°=100°,

∠BDC=80°,

∴∠ADB+∠BDC=180°,

∴此種情況不能構(gòu)成四邊形,

綜上所述:∠BAD的度數(shù)為80°.

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