Question

如圖，已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1。過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為1。

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）若一次函數(shù)的圖象與x軸相交于點(diǎn)C，求線段AC的長(zhǎng)度；
（3）直接寫出：當(dāng)＞＞0時(shí)，x的取值范圍；
（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)p，使△PAO為等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出p點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。（要求至少寫兩個(gè)）

Answer 1

（1），；（2）；（3）；（4）

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的k的幾何意義即可求得反比例函數(shù)的解析式，從而可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在圖象上即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）把時(shí)代入即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理求解即可；
（3）找到第一象限中反比例函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上方的部分對(duì)應(yīng)的x值的范圍即可；
（4）根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）∵
∴
∵經(jīng)過(guò)第一象限
∴  
∴
當(dāng)時(shí)代入得
∴A（1，2）
∵A（1，2）在圖象上
∴，解得
∴；
（2）當(dāng)時(shí)代入得
∴C（－1，0）
在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2
∴AC＝
（3）由圖可知：當(dāng)時(shí)，＞＞0時(shí)；
（4）存在點(diǎn)，使△PAO為等腰三角形
（OA的垂直平分線與軸的交點(diǎn)）等等.
點(diǎn)評(píng)：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.