Question

（2013•綿陽）我們知道，三角形的三條中線一定會交于一點，這一點就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性質(zhì)，如關(guān)于線段比．面積比就有一些“漂亮”結(jié)論，利用這些性質(zhì)可以解決三角形中的若干問題．請你利用重心的概念完成如下問題：
（1）若O是△ABC的重心（如圖1），連結(jié)AO并延長交BC于D，證明：

AO

AD

=

2

3

；
（2）若AD是△ABC的一條中線（如圖2），O是AD上一點，且滿足

AO

AD

=

2

3

，試判斷O是△ABC的重心嗎？如果是，請證明；如果不是，請說明理由；
（3）若O是△ABC的重心，過O的一條直線分別與AB、AC相交于G、H（均不與△ABC的頂點重合）（如圖3），S_{四邊形BCHG}，S_△AGH分別表示四邊形BCHG和△AGH的面積，試探究

S四邊形BCHG

S△AGH

的最大值．

Answer 1

分析：（1）如答圖1，作出中位線DE，證明△AOC∽△DOE，可以證明結(jié)論；
（2）如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．由（1）可知，

AQ

AD

=

2

3

，而已知

AO

AD

=

2

3

，故點O與點Q重合，即點O為△ABC的重心；
（3）如答圖3，利用圖形的面積關(guān)系，以及相似線段間的比例關(guān)系，求出

S四邊形BCHG

S△AGH

的表達式，這是一個二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值．

解答：（1）證明：如答圖1所示，連接CO并延長，交AB于點E．

∵點O是△ABC的重心，∴CE是中線，點E是AB的中點．
∴DE是中位線，
∴DE∥AC，且DE=

1

2

AC．
∵DE∥AC，
∴△AOC∽△DOE，
∴

AO

OD

=

AC

DE

=2，
∵AD=AO+OD，
∴

AO

AD

=

2

3

．

（2）答：點O是△ABC的重心．
證明：如答圖2，作△ABC的中線CE，與AD交于點Q，則點Q為△ABC的重心．

由（1）可知，

AQ

AD

=

2

3

，
而

AO

AD

=

2

3

，
∴點Q與點O重合（是同一個點），
∴點O是△ABC的重心．

（3）解：如答圖3所示，連接DG．

設(shè)S_△GOD=S，由（1）知

AO

AD

=

2

3

，即OA=2OD，
∴S_△AOG=2S，S_△AGD=S_△GOD+S_△AGO=3S．
為簡便起見，不妨設(shè)AG=1，BG=x，則S_△BGD=3xS．
∴S_△ABD=S_△AGD+S_△BGD=3S+3xS=（3x+3）S，
∴S_△ABC=2S_△ABD=（6x+6）S．
設(shè)OH=k•OG，由S_△AGO=2S，得S_△AOH=2kS，
∴S_△AGH=S_△AGO+S_△AOH=（2k+2）S．
∴S_{四邊形BCHG}=S_△ABC-S_△AGH=（6x+6）S-（2k+2）S=（6x-2k+4）S．
∴

S四邊形BCHG

S△AGH

=

(6x-2k+4)S

(2k+2)S

=

3x-k+2

k+1

  ①
如答圖3，過點O作OF∥BC交AC于點F，過點G作GE∥BC交AC于點E，則OF∥GE．
∵OF∥BC，
∴

OF

CD

=

AO

AD

=

2

3

，
∴OF=

2

3

CD=

1

3

BC；
∵GE∥BC，
∴

GE

BC

=

AG

AB

=

1

x+1

，
∴GE=

BC

x+1

；
∴

OF

GE

=

1 3 BC

BC x+1

=

x+1

3

，
∴

OF

GE-OF

=

x+1

3-(x+1)

=

x+1

2-x

．
∵OF∥GE，
∴

OH

GH

=

OF

GE

，
∴

OH

OG

=

OF

GE-OF

=

x+1

2-x

，
∴k=

x+1

2-x

，代入①式得：

S四邊形BCHG

S△AGH

=

3x-k+2

k+1

=

3x- x+1 2-x +2

x+1 2-x +1

=-x²+x+1=-（x-

1

2

）²+

5

4

，
∴當x=

1

2

時，

S四邊形BCHG

S△AGH

有最大值，最大值為

5

4

．

點評：本題是幾何綜合題，以三角形的重心為背景，考查了重心的概念、性質(zhì)以及應(yīng)用，考查了相似三角形、中位線、圖形面積、二次函數(shù)最值等知識點．試題的難點在于第（3）問，如何求出

S四邊形BCHG

S△AGH

的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；另外，第（3）問尚有多種不同的解法，同學(xué)們可以深入探究．