Question

（2010•皇姑區(qū)二模）朝陽商貿(mào)有限公司生產(chǎn)的某種時(shí)令商品每件成本為20元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40天內(nèi)的日銷售量m（件）與時(shí)間t（天）的關(guān)系如下表：

時(shí)間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內(nèi)，前20天每天的價(jià)格y₁（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₁=

1

4

t+25（1≤t≤20且t為整數(shù)），后20天每天的價(jià)格y₂（元/件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系式為y₂=-

1

2

t+40（21≤t≤40且t為整數(shù)）
．下面我們就來研究銷售這種商品的有關(guān)問題：
（1）認(rèn)真分析上表中的數(shù)據(jù)，用所學(xué)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識(shí)確定一個(gè)滿足這些數(shù)據(jù)的m（件）與t（天）之間的關(guān)系式；
（2）請(qǐng)預(yù)測(cè)未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在實(shí)際銷售的前30天中，該公司決定每銷售一件就捐贈(zèng)a元利潤（a＜4）給希望工程．公司通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤隨時(shí)間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）日利潤=日銷售量×每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈(zèng)后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求a的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)為m=kt+b，
將

t=1 m=94

和

t=3 m=90

代入一次函數(shù)m=kt+b中，
有

k+b=94 3k+b=90

，
∴

k=-2 b=96

．
∴m=-2t+96．
經(jīng)檢驗(yàn)，其它點(diǎn)的坐標(biāo)均適合以上解析式，
故所求函數(shù)解析式為m=-2t+96；

（2）設(shè)前20天日銷售利潤為p₁元，后20天日銷售利潤為p₂元．
由p₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20）
=（-2t+96）（

1

4

t+5）
=-

1

2

t²+14t+480
=-

1

2

（t-14）²+578，
∵1≤t≤20，
∴當(dāng)t=14時(shí)，p₁有最大值578（元）．
由p₂=（-2t+96）（-t+40-20）
=（-2t+96）（-

1

2

t+20）
=t²-88t+1920
=（t-44）²-16．
∵21≤t≤40，此函數(shù)對(duì)稱軸是t=44，
∴函數(shù)p₂在21≤t≤40上，在對(duì)稱軸左側(cè)，隨t的增大而減�。�
∴當(dāng)t=21時(shí)，p₂有最大值為（21-44）²-16=529-16=513（元）．
∵578＞513，故第14天時(shí)，銷售利潤最大，為578元；

（3）p₁=（-2t+96）（

1

4

t+25-20-a）=-

1

2

t²+（14+2a）t+480-96a
對(duì)稱軸為t=

-(14a+2)

2×(- 1 2 )

=-14+2a．
∵t取1≤t≤20之內(nèi)的整數(shù)，
∴對(duì)稱軸14+2a滿足20≤14+2a，p₁也是隨整數(shù)t增加而增加．
∴3≤a＜4．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)的應(yīng)用：
（1）熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對(duì)所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性；
（2）最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時(shí)，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．同時(shí)注意自變量的取值范圍．