Question

如圖，E為正方形ABCD的CD邊上一點，連接BE，過點A作AF∥BE，交CD的延長線于點F，∠ABE 的平分線分別交AF、AD于點G、H．
（1）若∠CBE=30°，AG=，求DH的長度；
（2）證明：BE=AH+DF．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用正方形的性質(zhì)以及已知得出∠ABG=∠GBE=30°，∠AGB=∠GBE，求出AB=BG的長，進(jìn)而得出AH的長，即可得出DH的長；
（2）首先證明△ADF≌△BCE，進(jìn)而得出∠GBC=∠MBE，再得出BE=EM=AH+DF，即可得出答案．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵∠CBE=30°且BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE=30°，
∴∠AGB=∠GBE，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG=，
又∵在Rt△ABE中，∠ABG=30°，
∴AH=AB=1，
又∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴DH=-1；
                                                  
（2）證明：將△ABH繞著點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCM，
∵ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵AF∥BE，
∴∠F=∠BEC，
在△ADF和△BCE中

∴△ADF≌△BCE（AAS），
∴DF=CE，
又由旋轉(zhuǎn)可知：AH=CM，∠AHB=∠M，∠BAH=∠BCM=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠BCM=180°，
∴點E、C、M在同一直線．                     
∴AH+DF=EC+CM=EM，
又∵BG平分∠ABE，
∴∠ABG=∠GBE，
又∵∠ABH=∠CBM，
∴∠GBE=∠CBM，
∴∠GBE+∠CBE=∠CBM+∠CBE，
即∠GBC=∠MBE，
又∵正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AHB=∠GBC，
∴∠GBC=∠M，
∴∠M=∠MBE，
∴BE=EM=AH+DF，
∴BE=AH+DF．
點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)以及等角對等邊等知識，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AH+DF=EC+CM=EM是解題關(guān)鍵．