Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于A、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，且OC=3OA，設(shè)拋物線的頂點為D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點（其中點M在點N的右側(cè)），在x軸上是否存在點Q，使△MNQ為等腰直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式，可得到它的對稱軸方程，進而可根據(jù)點B的坐標(biāo)來確定點A的坐標(biāo)，已知OC=3OA，即可得到點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得該拋物線的解析式．
（2）求出點C關(guān)于對稱軸的對稱點，求出兩點間的距離與CD相比較可知，PC不可能與CD相等，因此要分兩種情況討論：
①CD=PD，根據(jù)拋物線的對稱性可知，C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點滿足P點的要求，坐標(biāo)易求得；
②PD=PC，可設(shè)出點P的坐標(biāo)，然后表示出PC、PD的長，根據(jù)它們的等量關(guān)系列式求出點P的坐標(biāo)．
（3）此題要分三種情況討論：
①點Q是直角頂點，那么點Q必為拋物線對稱軸與x軸的交點，由此求得點Q的坐標(biāo)；
②M、N在x軸上方，且以N為直角頂點時，可設(shè)出點N的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可知MN正好等于拋物線對稱軸到N點距離的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，則QN=MN，由此可表示出點N的縱坐標(biāo)，聯(lián)立拋物線的解析式，即可得到關(guān)于N點橫坐標(biāo)的方程，從而求得點Q的坐標(biāo)；根據(jù)拋物線的對稱性知：Q關(guān)于拋物線的對稱點也符合題意；
③M、N在x軸下方，且以N為直角頂點時，方法同②．

解答：解：（1）由y=ax²-2ax+b可得拋物線對稱軸為x=1，由B（3，0）可得A（-1，0）；
∵OC=3OA，
∴C（0，3）；
依題意有：

a+2a+b=0 b=3

，
解得

a=-1 b=3

；
∴y=-x²+2x+3．

（2）存在．由C點（0，3）和x=1可得對稱點為P（2，3）；
設(shè)P₂（x，y），
∵C（0，3），P（2，3），
∴CP=2，
∵D（1，4），
∴CD=

2

＜2，
∴PC不可能與CD相等；
∵CP₂²=（3-y）²+x²，DP₂²=（x-1）²+（4-y）²
∴（3-y）²+x²=（x-1）²+（4-y）²
將y=-x²+2x+3代入可得：x=

3+ 5

2

，
∴y=

5- 5

5

；
∴P₂（

3+ 5

2

，

5- 5

5

）．

（3）存在，且Q₁（1，0），Q₂（2-

5

，0），Q₃（2+

5

，0），Q₄（-

5

，0），Q₅（

5

，0）；
①若Q是直角頂點，由對稱性可直接得Q₁（1，0）；
②若N是直角頂點，且M、N在x軸上方時；
設(shè)Q₂（x，0）（x＜1），
∴MN=2Q₁O₂=2（1-x），
∵△Q₂MN為等腰直角三角形；
∴y=2（1-x）即-x²+2x+3=2（1-x）；
∵x＜1，
∴Q₂（2-

5

，0）；
由對稱性可得Q₃（

5

，0）；
③若N是直角頂點，且M、N在x軸下方時；
同理設(shè)Q₄（x，y），（x＜1）
∴Q₁Q₄=1-x，而Q₄N=2（Q₁Q₄），
∵y為負(fù)，
∴-y=2（1-x），
∴-（-x²+2x+3）=2（1-x），
∵x＜1，
∴x=-

5

，
∴Q₄（-

5

，0）；
由對稱性可得Q₅（

5

+2，0）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、等腰三角形及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，（2）（3）題都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此考慮問題一定要全面，以免漏解．