Question

如圖，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，將一塊與△ABC全等的三角板的直角頂點放在點C上，一直角邊與BC重疊．
（1）操作1：固定△ABC，將三角板沿C→B方向平移，使其直角頂點落在BC的中點M，如圖2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距離為

 

；
（2）操作2：在（1）的情況下，將三角板BC的中點M順時針方向旋轉角度a（0°＜a＜90°），如圖3所示，探究：設三角形板兩直角邊分別與AB、AC交于點P、Q，觀察四邊形MPAQ形狀的變化，問：四邊形MPAQ的面積S是否改變，若不變，求其面積；若改變，試說明理由；
（3）在（2）的情形下，連PQ，設BP=x，記△MPQ的面積為y，試求y關于x的函數(shù)關系式，并求x為何值時，y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，此時，指出四邊形MPAQ的形狀．

Answer 1

分析：（1）M是BC的中點，三角板沿C→B方向平移的距離為CM，根據勾股定理可求BC，那么CM可求；
（2）連AM，分別證明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四邊形MPAQ的面積S就是△ABC面積的一半；
（3）用四邊形MPAQ的面積減去△APQ可得△MPQ的面積，而AQ=PB=x，AP=2-x，據此列出y關于x的函數(shù)關系式，將函數(shù)值代入函數(shù)關系式可得自變量，根據自變量可以判斷四邊形MPAQ的形狀．

解答：解：（1）BC=

22+22

=2

2

∴CM=

1

2

BC=

2

故三角板沿C→B方向平移的距離為：

2

．

（2）四邊形MPAQ的面積S不變，如圖，連AM，M是等腰直角三角形ABC斜邊BC的中點，

∴AM=BM，而∠QMA=∠PMB=a，∠QAM=∠PBM=45°
∴△MAQ≌△MBP，
同理可得：△MAP≌△MCQ，
∴S_{四邊形MPAQ}=S_△MAQ+S_△MAP=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×2×2=1

（3）y=1-

1

2

x（2-x）=

1

2

x²-x+1
如果y的值是四邊形MPAQ的面積的一半，
則有，

1

2

x²-x+1=1×

1

2

 解得，x=1．
四邊形MPAQ為正方形．

點評：本題考查了旋轉的性質、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性質、正方形的判定及函數(shù)關系式的運用．