Question

已知兩直線l₁、l₂分別經(jīng)過點A（3，0），點B（-1，0），并且當兩條直線同時相交于y軸負半軸的點C時，恰好有l(wèi)₁⊥l₂，經(jīng)過點A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l₂交于點K，如圖所示．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上是否存在點P，使得以A、B、C、P為頂點的四邊形的面積等于△ABC的面積的倍？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）將直線l₁按順時針方向繞點C旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜90），與拋物線的另一個交點為M．求在旋轉(zhuǎn)過程中△MCK為等腰三角形時的α的值．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，OB=1，OA=3，且CO⊥AB；
∴OC==，則 C（0，-）；
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），代入點C的坐標后，得：
a（0+1）（0-3）=-，a=
∴拋物線的解析式：y=（x+1）（x-3）=x²-x-．

（2）易知OA=3、OB=1、OC=，則：S_△ABC=AB•OC=×4×=2．
①當點P在x軸上方時，由題意知：S_△ABP=S_△ABC，則：
點P到x軸的距離等于點C到x軸距離的一半，即 點P的縱坐標為；
令y=x²-x-=，化簡得：2x²-4x-9=0
解得 x=；
∴P₁（，）、P₂（，）；
②當點P在拋物線的B、C段時，顯然△BCP的面積要小于S_△ABC，此種情況不合題意；
③當點P在拋物線的A、C段時，S_△ACP=AC•h=S_△ABC=，則h=1；
在射線CK上取點D，使得CD=h=1，過點D作直線DE∥l₁，交y軸于點E，如右圖；
在Rt△CDE中，∠ECD=∠BCO=30°，CD=1，則CE=、OE=OC+CE=，點E（0，-）
∴直線DE：y=x--，聯(lián)立拋物線的解析式，有：
，解得：、
∴P₃（1，-）、P₄（2，-）；
綜上，存在符合條件的點P，且坐標為（，）、（，）、（1，-）、（2，-）．

（3）由（1）知：y=x²-x-=（x-1）²-，
∴拋物線的對稱軸 x=1；
在Rt△OBC中，OB=1，OC=，則∠BCO=∠1=30°、∠2=∠3=90°-∠BCO=60°、BC=2；
過點C作直線CN∥x軸，交拋物線于點N，如右圖；
由拋物線的對稱性可得：N（2，-），所以 CN=2；
易知直線BC：y=-x-，則 K（1，-2），CK==2；
在△CKN中，∠2=60°，CN=CK=2，那么△CKN是等邊三角形----①．
Ⅰ、KC=KM時，點C、M關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，符合①的情況，即點M、N重合；
Ⅱ、KC=CN時，由于KC=BC，所以此時點M與B、N重合；
Ⅲ、MK=MC時，點M在線段CK的中垂線上，此時M、N重合；
綜上，只有一個符合條件的點M（即點N），此時直線l₁的旋轉(zhuǎn)角度α=∠ACN=90°-∠2=30°．
分析：（1）在Rt△ABC中，由射影定理可求出OC的長，由此確定點C的坐標；知道A、B、C三點坐標后，利用待定系數(shù)法可確定該拋物線的解析式．
（2）此題中，以A、B、C、P為頂點的四邊形可分作兩部分，若該四邊形的面積是△ABC面積的1.5倍，那么四邊形中除△ABC以外部分的面積應是△ABC面積的一半，分三種情況：
①當點P在x軸上方時，△ABP的面積應該是△ABC面積的一半，因此點P的縱坐標應該是點C縱坐標絕對值的一半，代入拋物線解析式中即可確定點P的坐標；
②當點P在B、C段時，顯然△BPC的面積要遠小于△ABC面積的一半，此種情況不予考慮；
③當點P在A、C段時，由A、C的長以及△ACP的面積可求出點P到直線AC的距離，首先在射線CK上取線段CD，使得CD的長等于點P到直線AC的距離，先求出過點D且平行于l₁的直線解析式，這條直線與拋物線的交點即為符合條件的點P．
（3）從題干的旋轉(zhuǎn)條件來看，直線l₁旋轉(zhuǎn)的范圍應該是l₁、l₂中間的部分，而△MCK的腰和底并不明確，所以分情況討論：①CK=CM、②KC=KM、③MC=MK；
求出點K的坐標、∠BCO的度數(shù)結(jié)合上述三種情況求解．
點評：該題考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，圖形面積的解法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)等重點知識；后兩題涉及的情況較多，應分類進行討論，容易漏解．