Question

已知：如圖，在正方形ABCD中，AD=1，P、Q分別為AD、BC上兩點(diǎn)，且AP=CQ，連接AQ、BP交于點(diǎn)E，EF平行BC交PQ于F，AP、BQ分別為方程x²-mx+n=0的兩根．
（1）求m的值；
（2）試用AP、BQ表示EF；
（3）若S_△PQE=

1

8

，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，AP、BQ分別為方程x²-mx+n=0的兩根，可知AP+BQ=m，AP•BQ=n，所以AP+BQ=m=1；
（2）利用平行線等分線段定理，結(jié)合合比性質(zhì)可求得

EQ

AE

=

BQ

AP

，

EQ

AE+EQ

=

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

=

BQ

AP+BQ

，所以EF=

AP•BQ

AP+BQ

；
（3）連接QD，則EP∥QD，得：S_△AQD=

1

2

，三角形的面積公式，可知S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，所以求得S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，則可求得AP•BQ=

1

4

即n=

1

4

．

解答：解：（1）∵AP=QC，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，
又∵AP、BQ分別為方程x²-mx+n=0的兩根，
所以有AP+BQ=m，AP•BQ=n，
∴AP+BQ=m=1．
即m=1．

（2）∵EF∥AP，
∴

EF

AP

=

EQ

AQ

，
又∵AP∥BQ，
∴

EQ

AE

=

BQ

AP

，
∴

EQ

AE+EQ

=

BQ

AP+BQ

即

EQ

AQ

=

BQ

AP+BQ

，
∴

EF

AP

=

BQ

AP+BQ

，即：EF=

AP•BQ

AP+BQ

．
∵AP+BQ=1，
∴EF=AP•BQ．

（3）連接QD，則EP∥QD
得：S_△AQD=

1

2

，
且S_△AEP：S_△AQD=AP²：AD²=AP²：1=AP²，
∴S_△AEP=AP²•S_△AQD=

1

2

AP²，
∴S_△PQE：S_△AEP=EQ：AE，
即

1

8

：

1

2

AP²=EQ：AE=BQ：AP，
∴AP•BQ=

1

4

，即：n=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了正方形的性質(zhì)和平行線等分線段定理和根與系數(shù)的關(guān)系．要會(huì)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到對(duì)應(yīng)的字母的值，靈活的運(yùn)用正方形的性質(zhì)和平行線等分線段定理中的比例線段求對(duì)應(yīng)線段的值或比例關(guān)系．