Question

如圖（1），（2）所示，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB＝6，BC＝4，點(diǎn)F在DC
上，DF＝2．動(dòng)點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，沿射線DA、線段BA向點(diǎn)A的方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)M可運(yùn)動(dòng)到DA的延長(zhǎng)線上），當(dāng)動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接FM、MN、FN，當(dāng)F、N、M不在同一直線時(shí)，可得△FMN，過(guò)△FMN三邊的中點(diǎn)作△PQW．設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N的速度都是1個(gè)單位／秒，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．試解答下列問(wèn)題：
【小題1】DM=___▲____,  AN=___▲____（用含x的代數(shù)式表示）
【小題2】說(shuō)明△FMN ∽ △QWP；
【小題3】試問(wèn)為何值時(shí)，△PQW為直角三角形？

【小題4】問(wèn)當(dāng)為_(kāi)___▲_____時(shí)，線段MN最短？

Answer 1

【小題1】         ( 2分)
【小題2】∵P、Q、W分別為△FMN三邊的中點(diǎn)
∴PQ∥FN，PW∥MN
∴∠MNF＝∠PQM＝∠QPW
同理：∠NFM＝∠PQW
∴△FMN ∽ △QWP    (2分)
【小題3】由⑴得△FMN ∽ △QWP，所以△FMN為直角三角形時(shí)，△QWP也為直角三角形．如圖，過(guò)點(diǎn)N作NECD于E，根據(jù)題意，得DM＝BM＝，∴AM＝4－，AN＝DE＝6－
∵DF＝2，∴EF＝4－
∴MF²＝2²＋x²＝x²＋4，MN²＝（4－x）²＋（6－x）²＝2x²－20x＋52，
NF²＝（4－x）²＋4²＝x²－8x＋32,
① 如果∠MNF＝90°，
有2x²－20x＋52＋x²－8x＋32＝x²＋4，
解得x₁＝4，x₂＝10（舍去）；
②如果∠NMF＝90°，
有2x²－20x＋52＋x²＋4＝x²－8x＋32，
化簡(jiǎn)，得：x²－6x＋12＝0，△＝－12＜0， 方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
③如果∠MFN＝90°，
有2x²－20x＋52＝x²＋4＋x²－8x＋32，
解得x＝．
∴當(dāng)為4或時(shí)，△PQW為直角三角形   (3分)
【小題4】當(dāng)＝5時(shí)，線段MN最短．(2分)解析:
（1）利用圖示求得；
（2）由平行線的性質(zhì)可得∠QPW=∠MNF，∠PQW=NFM，故有△FMN∽△QWP；
（3）當(dāng)△FMN是直角三角形時(shí)，△QWP也為直角三角形，當(dāng)MF⊥FN時(shí)，證得△DFM∽△GFN，有DF：FG=DM：GN，得到4-x=2x，求得x此時(shí)的值，當(dāng)MG⊥FN時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N與點(diǎn)G重合，此時(shí)x=AD=4；
（4）當(dāng)點(diǎn)F、M、N在同一直線上時(shí)，MN最短，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為x，AM的長(zhǎng)度為（4-x），AN的長(zhǎng)度為（6-x），再由△MAN∽△MBF即可求出答案．