Question

如圖（a），已知AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，B為切點，D是⊙O上一點（不A、B重合）．
（1）求證：∠DAB=∠DBC；
（2）若AB不是⊙O的直徑，其它條件不變，（1）中的結論還成立嗎？若成立，則給出你的證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，易得∠D=90°，AB⊥BC，然后由同角的余角相等，即可證得：∠DAB=∠DBC；
（2）首先作直徑BE，連接DE，同（1），可證得∠BED=∠DBC，又由圓周角定理，可得∠BED=∠DAB，則可證得∠DAB=∠DBC．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，
∴∠D=90°，AB⊥BC，
∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠DAB=∠DBC；

（2）成立．
理由：如圖2，作直徑BE，連接DE，
∵BE是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，
∴∠BDE=90°，BE⊥BC，
∴∠BED+∠EBD=90°，∠EBD+∠DBC=90°，
∴∠BED=∠DBC，
∵∠BED=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBC；

如圖3，作直徑BE，連接DE，
∵BE是⊙O的直徑，CB是⊙O的切線，
∴∠BDE=90°，BE⊥BC，
∴∠BED+∠EBD=90°，∠EBD+∠DBC=90°，
∴∠BED=∠DBC，
∵∠BED=∠DAB，
∴∠DAB=∠DBC．

點評：此題考查了切線的性質以及圓周角定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．