Question

在△ABC中，∠ACB=90°．經過點B的直線l（l不與直線AB重合）與直線BC的夾角等于∠ABC，分別過點C、點A作直線l的垂線，垂足分別為點D、點E．
（1）若∠ABC=45°，CD=1（如圖），則AE的長為______；
（2）寫出線段AE、CD之間的數量關系，并加以證明；
（3）若直線CE、AB交于點F，，CD=4，求BD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先在直角三角形CDB中利用CD求得BC，然后在直角三角形ABC中求得AE即可；
（2）根據上題得到的結論猜想兩條線段之間具有二倍關系，證得△GCD∽△GAE后即可證明猜想正確．
（3）分當點F在線段AB上時和點F在線段BA的延長線上時利用△AGH∽△AEB求得線段BD的長即可．
解答：（1）解：∵∠ABC=45°，
∴∠CBD=45°，
∵CD=1，
∴BC=，
∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
AE=2．

（2）線段AE、CD之間的數量關系為AE=2CD．
證明：如圖1，延長AC與直線l交于點G．
依題意，可得∠1=∠2．
∵∠ACB=90°，
∴∠3=∠4．
∴BA=BG．∴CA=CG．…（3分）
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE．
∴△GCD∽△GAE．
∴．
∴AE=2CD．

（3）解：當點F在線段AB上時，如圖2，
過點C作CG∥l交AB于點H，交AE于點G．
∴∠2=∠HCB．
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠HCB．
∴CH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠1=∠HCB+∠4=90°．
∴∠3=∠4．
∴CH=AH=BH．
∵CG∥l，
∴△FCH∽△FEB．
∴．
設CH=5x，BE=6x，則AB=10x．
∴在△AEB中，∠AEB=90°，AE=8x．
由（2）得，AE=2CD．
∵CD=4，
∴AE=8．
∴x=1．
∴AB=10，BE=6，CH=5．
∵CG∥l，
∴△AGH∽△AEB．
∴．
∴HG=3．…（5分）
∴CG=CH+HG=8．
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四邊形CDEG為平行四邊形．
∴DE=CG=8．
∴BD=DE-BE=2．…（6分）
當點F在線段BA的延長線上時，如圖3，
同理可得CH=5，GH=3，BE=6．
∴DE=CG=CH-HG=2．
∴BD=DE+BE=8．
∴BD=2或8．
點評：本題考查了相似形綜合知識，題目中還涉及到了相似三角形的判定與性質及解直角三角形的知識，難度較大，此類題目應重點掌握．