Question

（2013•濱城區(qū)一模）（1）已知：如圖（1），∠ABC=∠DCB，BD、CA分別是∠ABC、∠DCB的平分線，求證：AB=DC．
（2）如圖（2），DE是△ABC的中位線，點F在DE上且∠AFB=90°，AB=5，BC=8，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線性質和已知求出∠ACB=∠DBC，根據ASA推出△ABC≌△DCB，根據全等三角形的性質推出即可．
（2）利用三角形中位線定理得到DE=

1

2

BC．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到DF=

1

2

AB．所以由圖中線段間的和差關系來求線段EF的長度即可．

解答：（1）證明：如圖1，∵AC平分∠BCD，BC平分∠ABC，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠ACB=

1

2

∠DCB，
∵∠ABC=∠DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
在△ABC與△DCB中，

∠ABC=∠DCB  BC=BC  ∠ACB=∠DBC

，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
∴AB=DC；

（2）解：如圖2，∵DE是△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

BC=4．
∵∠AFB=90°，D是AB的中點，
∴DF=

1

2

AB=2.5，
∴EF=DE-DF=4-2.5=1.5．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定和角平分線性質的應用，（1）題的關鍵是推出△ABC≌△DCB，題目比較好，難度適中．