【題目】在平面直角坐標系xOy中,設點P(x1,y1),Q(x2,y2)是圖形W上的任意兩點.
定義圖形W的測度面積:若|x1﹣x2|的最大值為m,|y1﹣y2|的最大值為n,則S=mn為圖形W的測度面積.
例如,若圖形W是半徑為1的⊙O,當P,Q分別是⊙O與x軸的交點時,如圖1,|x1﹣x2|取得最大值,且最大值m=2;當P,Q分別是⊙O與y軸的交點時,如圖2,|y1﹣y2|取得最大值,且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4
(1)若圖形W是等腰直角三角形ABO,OA=OB=1.
①如圖3,當點A,B在坐標軸上時,它的測度面積S= ;
②如圖4,當AB⊥x軸時,它的測度面積S= ;
(2)若圖形W是一個邊長1的正方形ABCD,則此圖形的測度面積S的最大值為 ;
(3)若圖形W是一個邊長分別為3和4的矩形ABCD,求它的測度面積S的取值范圍.
【答案】(1)1,1;(2)2;(3)12≤S≤.
【解析】
試題分析:(1)由測度面積的定義利用它的測度面積S=|OA||OB|求解即可;
②利用等腰直角三角形的性質求出AC,AB,利用測度面積S=|AB||OC|求解即可;
(2)先確定正方形有最大測度面積S時的圖形,即可利用測度面積S=|AC||BD|求解.
(3)分兩種情況當A,B或B,C都在x軸上時,當頂點A,C都不在x軸上時分別求解即可.
試題解析:(1)①如圖3,
∵OA=OB=1,點A,B在坐標軸上,
∴它的測度面積S=|OA||OB|=1,
故答案為:1.
②如圖4,
∵AB⊥x軸,OA=OB=1.
∴AB=,OC=,
∴它的測度面積S=|AB||OC|=×=1,
故答案為:1.
(2)如圖5,圖形的測度面積S的值最大,
∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形.
∴它的測度面積S=|AC||BD|=×=2,
故答案為:2.
(3)設矩形ABCD的邊AB=4,BC=3,由已知可得,平移圖形W不會改變其測度面積的大小,將矩形ABCD的其中一個頂點B平移至x軸上,
當A,B或B,C都在x軸上時,
如圖6,圖7,
矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積,此時S=12.
當頂點A,C都不在x軸上時,如圖8,過點A作直線AH⊥x軸于點E,過C點作CF⊥x軸于點F,過點D作直線GH∥x軸,分別交AE,CF于點H,G,則可得四邊形EFGH是矩形,
當點P,Q與點A,C重合時,|x1﹣x2|的最大值為m=EF,|y1﹣y2|的最大值為n=GF.
圖形W的測度面積S=EFGF,
∵∠ABC+∠CBF=90°,∠ABC+∠BAE=90°,
∴∠CBF=∠BAE,
∵∠AEB=∠BFC=90°,
∴△AEB∽△BFC,
∴,
設AE=4a,EB=4b,(a>0,b>0),則BF=3a,F(xiàn)C=3b,
在RT△AEB中,AE2+BE2=AB2,
∴16a2+16b2=16,即a2+b2=1,
∵b>0,
∴,
在△ABE和△CDG中,
∴△ABE≌△CDG(AAS)
∴CG=AE=4a,
∴EF=EB+BF=4b+3a,GF=FC+CG=3b+4a,
∴圖形W的測度面積S=EFGF=(4b+3a)(3b+4a)
=12a2+12b2+25a=12+25=12+25,
當時,即a=時,測度面積S取得最大值12+25×=,
∵a>0,b>0,
∴,
∴S>12,
綜上所述:測度面積S的取值范圍為12≤S≤.
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【題目】學生對小區(qū)居民的健身方式進行調查,并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)所給信息解答下列問題:
(1)本次共調查_________人.
(2)補全圖(1)中的條形統(tǒng)計圖,圖(2)中“跑步”所在扇形對應的圓心角度數(shù)是_______.
(3)估計2000人中喜歡打太極的大約有多少人?
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【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,AB=AC=2,在△ABC內作第一個內接正方形DEFG;然后取GF的中點P,連接PD、PE,在△PDE內作第二個內接正方形HIKJ;再取線段KJ的中點Q,在△QHI內作第三個內接正方形…依次進行下去,則第n個內接正方形的邊長為( 。
A. B. C. D.
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【題目】希望小學學生王晶和他的爸爸、媽媽準備在“元旦”期間外出旅游.陽光旅行社的收費標準為:大人全價,小孩半價;而藍天旅行社不管大人小孩,一律八折.這兩家旅行社的基本費一樣,都是300元,你認為應該去哪家旅行社較為合算?為什么?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=120cm,∠A=60°,點D從點C出發(fā)沿 CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒.過點D作DF⊥BC于點F,連接DE,EF.當四邊形AEFD是菱形時,t的值為( )
A.20秒
B.18秒
C.12秒
D.6秒
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【題目】觀察下列單項式:-2x,22x2,-23x3,24x4…-25x5,26x6…請觀察規(guī)律,寫出第n個式子________.
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【題目】如圖1,△ABC是一塊等邊三角形場地,點D,E分別是AC,BC邊上靠近C點的三等分點.現(xiàn)有一個機器人(點P)從A點出發(fā)沿AB邊運動,觀察員選擇了一個固定的位置記錄機器人的運動情況.設AP=x,觀察員與機器人之間的距離為y,若表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示,則觀察員所處的位置可能是圖1的( )
A. 點B B. 點C C. 點D D. 點E
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