某倉庫為了保持庫內(nèi)的濕度和溫度,四周墻上均裝有如圖所示的自動通風設(shè)施.該設(shè)施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等邊三角形,固定點E為AB的中點.△EMN是由電腦控制其形狀變化的三角通風窗(陰影部分均不通風),MN是可以沿設(shè)施邊框上下滑動且始終保持和AB平行的伸縮橫桿.
(1)當MN和AB之間的距離為0.5米時,求此時△EMN的面積;
(2)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù);
(3)請你探究△EMN的面積S(平方米)有無最大值?若有,請求出這個最大值;若沒有,請說明理由.
【答案】分析:(1)要看圖解答問題.得出當MN和AB之間的距離為0.5米時,MN應(yīng)位于DC下方,且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米可得出三角形EMN的面積.
(2)本題要分情況解答(0<x≤1;1<x<1+).當0<x≤1時,可直接得出三角形的面積函數(shù),當1<x<1+,連接EG,交CD于點F,交MN于點H,先求FG,再證△MNG∽△DCG,繼而得出三角形面積函數(shù)
(3)本題也要分兩種情況解答:當MN在矩形區(qū)域滑動時以及當MN在三角形區(qū)域滑動時),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答.
當MN在矩形區(qū)域滑動時,S=x,可直接由圖得出取值范圍
當MN在三角形區(qū)域滑動時,由二次函數(shù)性質(zhì)可知,在對稱軸時取得最大值
解答:解:(1)由題意,當MN和AB之間的距離為0.5米時,MN應(yīng)位于DC下方,且此時△EMN中MN邊上的高為0.5米.
∴S△EMN=×2×0.5=0.5(平方米).
即△EMN的面積為0.5平方米.(2分)

(2)①如圖1所示,當MN在矩形區(qū)域滑動,
即0<x≤1時,
△EMN的面積S=×2×x=x;(3分)
②如圖2所示,當MN在三角形區(qū)域滑動,即1<x<1+時,
如圖,連接EG,交CD于點F,交MN于點H,
∵E為AB中點,
∴F為CD中點,GF⊥CD,且FG=
又∵MN∥CD,
∴△MNG∽△DCG.
,即.(4分)
故△EMN的面積S=××x
=;(5分)
綜合可得:S=(6分)

(3)①當MN在矩形區(qū)域滑動時,S=x,所以有0<S≤1;(7分)
②當MN在三角形區(qū)域滑動時,S=-x2+(1+)x,
因而,當(米)時,S得到最大值,
最大值S===+(平方米).(9分)
+>1,
∴S有最大值,最大值為+平方米.(10分)
點評:本題考查的是二次函數(shù)的相關(guān)知識.考生要學會利用圖形,數(shù)形結(jié)合解答函數(shù)問題.難度較大.
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(1)當MN和AB之間的距離為0.5米時,求此時△EMN的面積;
(2)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù);
(3)請你探究△EMN的面積S(平方米)有無最大值?若有,請求出這個最大值;若沒有,請說明理由.

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(2)設(shè)MN與AB之間的距離為x米,試將△EMN的面積S(平方米)表示成關(guān)于x的函數(shù).
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