Question

在某段限速公路BC上（公路視為直線），交通管理部門規(guī)定汽車的最高行駛速度不能超過(guò)60千米/時(shí) （即

50

3

米/秒），并在離該公路100米處設(shè)置了一個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)A．在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A位于y軸上，測(cè)速路段BC在x軸上，點(diǎn)B在A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在A的北偏東45°方向上，另外一條高速公路在y軸上，AO為其中的一段．
（1）寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所用的時(shí)間是15秒，通過(guò)計(jì)算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速？（參考數(shù)據(jù)：

3

≈1.7）
（3）若一輛大貨車在限速路上以60千米/時(shí)的速度由C處向西行駛，同時(shí)一輛小汽車在高速公路上由A處以貨車2倍的速度向北行駛，求兩車在勻速行駛半分鐘后，它們的距離是多少米？（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）由已知得OA=100，∠OAB=60°，∠OAC=45°，由直角三角形AOB和直角三角形AOC和點(diǎn)B在A的北偏西60°方向上，點(diǎn)C在A的北偏東45°方向上，求出OB和OC，從而寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由（1）我們可以知道一輛汽車從點(diǎn)B勻速行駛到點(diǎn)C所行駛的路程即BC=OB+OC，求出這輛汽車的速度與限速比較得出答案．
（3）先求出貨車和小汽車行駛的路程，分別減去OC、OA，得OM、ON，在根據(jù)勾股定理求出它們的距離．

解答：解：（1）由已知，得OA=100，∠OAB=60°，∠OAC=45°，
∴在直角三角形AOB和直角三角形AOC中，
OB=OA•tan60°=100

3

，
OC=OA•tan45°=100，
所以A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，-100），B（-100

3

，0），C（100，0）．

（2）由（1）得BC=OB+OC=100

3

+100≈270，
所以該汽車在這段限速路上的速度為：270÷15=18=

54

3

＞

50

3

，
所以該汽車在這段限速路上超速．

（3）設(shè)貨車行至M，小汽車行至N，
由已知?jiǎng)t，（半分鐘=30秒）
AN=

50

3

×2×30=1000，
CM=

50

3

×30=500，
所以，ON=AN-OA=1000-100=900，
OM=CM-OC=500-100=400，
在直角三角形MON中根據(jù)勾股定理得：
MN²=OM²+ON²=400²+900²，
∴MN=

4002+9002

=100

97

，
答：它們的距離是100

97

米．

點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解直角三角形問(wèn)題及函數(shù)問(wèn)題．