Question

【題目】如圖，點(diǎn)A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，AB∥OC．

（1）求證：AC平分∠OAB；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)P．若AB=2，∠AOE=30°，求PE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB∥OC

∴∠C=∠BAC

∵OA=OC，

∴∠C=∠OAC

∴∠BAC=∠OAC，

即AC平分∠OAB．

（2）解：∵OE⊥AB，

∴AE=BE= AB=1．

又∵∠AOE=30°，∠PEA=90°，

∴∠OAE=60°．

∴∠EAP= ∠OAE=30°，

∴ ，即PE的長(zhǎng)是 ．

【解析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠C=∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠C=∠OAC，從而得到∠BAC=∠OAC，繼而證得結(jié)論。
（2）由已知OE⊥AB，根據(jù)垂徑定理求出AE的長(zhǎng)，再證明∠EAP=30°，然后根據(jù)解直角三角形就可求出PE的長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）即可以解答此題．