Question

（2012•南湖區(qū)二模）在特殊四邊形的復(fù)習(xí)課上，王老師出了這樣一道題：
如圖1，在?ABCD中，E、F、G、H分別為AB，BC，CD，DA邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接EG，HF相交于點(diǎn)O，且∠HOE=∠ADC，若AB=a，AD=b，試探究：EG與FH的數(shù)量關(guān)系．
經(jīng)過(guò)小組討論后，小聰建議分以下三步進(jìn)行，請(qǐng)你解答：
（1）特殊情況，探索結(jié)論
當(dāng)?ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形時(shí)（如圖2），請(qǐng)寫(xiě)出EG與FH的數(shù)量關(guān)系（不必證明）；
（2）嘗試變題，再探思路
當(dāng)?ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形時(shí)（如圖3），EG與FH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
小聰想：要求EG與FH的數(shù)量關(guān)系，就要構(gòu)成全等三角形或相似三角形，于是，分別過(guò)點(diǎn)G、H作GM⊥AB于點(diǎn)M，HN⊥BC于點(diǎn)N，在△HNF和△GME中，有∠GME=∠HNF=Rt∠，由菱形面積與性質(zhì)可得GM=HN，能否從已知條件得到∠MGE=∠NHF呢？請(qǐng)你根據(jù)小聰?shù)乃悸吠瓿山獯疬^(guò)程；
（3）特例啟發(fā)，解答題目
猜想：原題中EG與FH的數(shù)量關(guān)系是

EG

FH

=

b

a

，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)H作HN⊥BC于N，求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME≌△HNF即可；
（2）過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)H作HN⊥BC于N，根據(jù)菱形面積公式求出GM=HN，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME≌△HNF即可；
（3）過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)H作HN⊥BC于N，根據(jù)平行四邊形面積公式求出

GM

HN

=

BC

AB

=

b

a

，求出∠GME=∠HNF=90°，∠GEM=∠HFN，證出△GME∽△HNF即可．

解答：（1）解：EG=FH，
理由是：過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)H作HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=AB，AD∥BC，DC∥AB，AD=BC，∠D=∠A=∠B=∠C=90°，
∴GM∥AD∥BC，HN∥DC∥AB，
∴四邊形ADGM、四邊形GMBC、四邊形AHNB，四邊形DCNH是平行四邊形，
∴DC=HN=AB，AD=GM=BC，
∴HN=GM，
∵∠ADC=∠HOE=90°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∵HN⊥BC，GM⊥AB，
∴∠GME=∠HNF=90°，
在△GME和△HNF中

∠GEM=∠HFN ∠GME=∠HNF GM=HN

∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH；

（2）EG=FH，
理由是：過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)H作HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，
∵菱形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN，
∴GM=HN，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
在△GME和△HNF中

∠GEM=∠HFN ∠GME=∠HNF GM=HN

∴△GME≌△HNF（AAS），
∴EG=FH．
（3）

EG

FH

=

b

a

，
理由是：過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)H作HN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，DC∥AB，
∵平行四邊形ABCD的面積S=AB×GM=BC×HN，
∵AB=a，AD=b，
∴

GM

HN

=

b

a

，
∵GM⊥AB，HN⊥BC，
∴∠GME=∠HNF=90°，
∵∠ADC=∠HOE，
∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，
∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，
∵AD∥BC，DC∥AB，
∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，
∴∠HFN=∠GEM，
∴△GME∽△HNF，
∴

EG

FH

=

GM

HN

=

b

a

，
故答案為：

EG

FH

=

b

a

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，平行四邊形性質(zhì)，菱形性質(zhì)，面積公式，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，證明過(guò)程類(lèi)似．