Question

如圖，如果以正方形ABCD的對角線AC為邊作第二個正方形ACEF，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，…，已知正方形ABCD的面積S₁為1，按上述方法所作的正方形的面積依此為S₂，S₃，…，S_n（n為正整數(shù)），那么第8個正方形的面積S₈=

128

．

Answer 1

分析：根據(jù)下一個正方形的邊長等于前一個正方形的對角線，再利用正方形的對角線等于邊長的

2

倍，然后根據(jù)正方形的面積公式依次進行求解，從而得到面積的變化規(guī)律，即可得解．

解答：解：∵正方形ABCD的面積S₁為1，
∴S₁=AB²=1，
∵正方形ACEF的邊長是AC是正方形ABCD的對角線，
∴AC=

2

AB，
∴正方形ACEF的面積S₂=AC²=（

2

AB）²=2AB²=2，
∵正方形ACEF的對角線AE是正方形AEGH的邊長，
∴AC=

2

AC，
∴正方形AEGH的面積S₃=AE²=（

2

AC）²=2AC²=2²，
∵正方形AEGH的對角線HE是正方形HEIJ的邊長，
∴HE=

2

AE，
∴正方形AEGH的面積S₄=HE²=（

2

AE）²=2AE²=2³，
…，
依此類推，S_n=2^n-1，
∴第8個正方形的面積S₈=2⁷=128．
故答案為：128．

點評：本題考查了正方形的對角線等于邊長的

2

倍的性質，正方形的面積公式，依次求解得到面積的變化規(guī)律，從而得到第n個正方形的面積的表達式是解題的關鍵．