Question

已知AB是兩個(gè)同心圓中大圓的弦，也是小圓的切線，設(shè)AB=a，用a表示這兩個(gè)同心圓中圓環(huán)的面積為（　�。�

• A．

  1

  4

  πa²
• B．

  2

  4

  πa²
• C．

  1

  2

  πa²
• D．

  3

  4

  πa²

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示，連接OC，OA，由大圓的弦與小圓相切，利用切線的性質(zhì)得到OC與AB垂直，再根據(jù)垂徑定理，由垂直得到C為AB的中點(diǎn)，根據(jù)AB=a表示出AC的長，可設(shè)大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，在直角三角形AOC中，根據(jù)勾股定理求出R²-r²的值，然后由大圓的面積減去小圓的面積表示出圓環(huán)的面積，將求出R²-r²的值代入即可求出圓環(huán)的面積．

解答：解：根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

連接OA，OC，
∵大圓的弦AB切小圓于C點(diǎn)，
∴OC⊥AB，又AB=a，
∴C為AB的中點(diǎn)，即AC=BC=

1

2

AB=

1

2

a，
設(shè)大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，
在直角三角形AOC中，OA=R，OC=r，
根據(jù)勾股定理得：OA²=AC²+OC²，即R²=r²+

1

4

a²，
∴R²-r²=

1

4

a²，
則兩圓之間的圓環(huán)面積S=πR²-πr²=

1

4

πa²．
故選A

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，以及圓的面積公式，其中根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，作出相應(yīng)的輔助線是解本題的關(guān)鍵．