Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1），E、F是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EOF=45°，過點(diǎn)E、F分別作x軸和y軸的垂線CE、DF相交于點(diǎn)P，垂足分別為C、D、設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），令xy=k，
（1）求證：△AOF∽△BEO；
（2）當(dāng)OC=OD時(shí)，求k的值；
（3）在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，探索：k是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）要證明△AOF∽△BEO，由題意可知OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAF=∠OBE=45°，看邊角關(guān)系，只要證∠AOF=∠BEO即可∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∵∠EOF=45°，∴∠AOF=∠BEO．問題得證．
（2）當(dāng)OC=OD時(shí)，作OM⊥AB于M，OM=

1

2

AB=

2

2

，由OC=OD，OA=OB=1，可以得到CE=DF，又∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，故有OF=OE，∠EOM=

1

2

∠EOF=22.5°，而∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM，
∴PC=PD=OC=

2

2

，k值可求．
（3）假設(shè)k的值為定值，即PC•PD=定值，作FK⊥OA于點(diǎn)K，EH⊥OB于點(diǎn)H，由△AOF∽△BEO得

AF

OB

=

OA

BE

，∴AF×BE=OA×OB=1，BE=

2

HE，AF=

2

FK，于是

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，PC×PD=EH×FK=

1

2

，問題可求．

解答：（1）證明：由題意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAF=∠OBE=45°；
又∵∠AOF=∠AOE+∠EOF，∠BEO=∠OAF+∠AOE；∠EOF=45°，
∴∠AOF=∠BEO，
∴△AOF∽△BEO．

（2）解：作OM⊥AB于M，則OM=

1

2

AB=

2

2

∵OC=OD，OA=OB=1，
∴CE=DF，
又∵∠OCE=∠ODF，
∴△OCE≌△ODF，
∴OF=OE，
∵∠EOM=

1

2

∠EOF=22.5°，又∠COE=∠AOM-∠EOM=45°-22.5°=22.5°=∠EOM
∴PC=PD=OC=

2

2

，
∴k=PC×PD=

1

2

．

（3）解：如圖，作FK⊥OA于點(diǎn)K，EH⊥OB于點(diǎn)H，
∵△AOF∽△BEO，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴AF×BE=OA×OB=1，
∵BE=

2

HE，AF=

2

FK，
∴

2

HE×

2

FK=1，即HE×FK=

1

2

，
∴PC×PD=EH×FK=

1

2

，
∴k的值為定值

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了全等、相似三角形的判定和性質(zhì)，及三角形的內(nèi)外角關(guān)系等，來解題，綜合性強(qiáng)，屬能力拔高題．