Question

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），過點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為點(diǎn)B，△AOB繞點(diǎn)O逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△MON（如圖所示），若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M、O三點(diǎn)．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）如果把這個二次函數(shù)圖象向右平移2個單位，得到新的二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為C，求tan∠ACO的值；
（3）在（2）的條件下，設(shè)新的二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，點(diǎn)E在這條對稱軸上，如果△BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似（相似比不為1），求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）本題需先得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、M、O三點(diǎn)代入即可求出解析式．
（2）本題先得出圖象向右平移2個單位的解析式，從而得出與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再連接AN，即可求出tan∠ACO的值．
（3）本題需先分根據(jù)（2）的解析式得出對稱軸為直線x=2，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，這時再分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn)E在x軸的上方時，得出

BD

DE

=

OC

BO

，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方時，同理可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知：點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，1），
設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、M、O三點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），
∴

1=a-b+c 1=a+b+c 0=c.

∴

a=1 b=0 c=0.

∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x²．

（2）將這個二次函數(shù)圖象向右平移2個單位，
得到新的二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）²．
∴二次函數(shù)y=（x-2）²的圖象與y軸的交點(diǎn)為C為（0，4），
由旋轉(zhuǎn)可知：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1），連接AN．
在Rt△ANC中，AN=1，CN=3，
∴tan∠ACO=

AN

CN

=

1

3

．

（3）由（2）得：新的二次函數(shù)y=（x-2）²圖象的對稱軸為直線x=2．
根據(jù)題意：得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），
可設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，x），∠BOC=∠BDE=90°．
如果△BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似：
①當(dāng)點(diǎn)E在x軸的上方時，
如果

BD

DE

=

BO

OC

，又BD=BO=1，容易知道△BCO與△BDE全等（舍去），
如果

BD

DE

=

OC

BO

，又BD=1，BO=1，OC=4，DE=x，
∴

1

x

=

4

1

，
∴x=

1

4

．
所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

1

4

）．
②當(dāng)點(diǎn)E在x軸的下方時，
同理：可得到E的坐標(biāo)為（2，-

1

4

）．
所以：當(dāng)△BCO與以點(diǎn)B、D、E所組成的三角形相似（相似比不為1）時，
點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，

1

4

）或（2，-

1

4

）．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式和解析式的求法．在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．