Question

（2003•河北）高科技發(fā)展公司投資500萬元，成功研制出一種市場需求量較大的高科技替代產品，并投入資金1500萬元作為固定投資，已知生產每件產品的成本是40元．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價定為100元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加10元，年銷售量將減少1萬件，設銷售單價為x（元），年銷售量為y（萬件），年獲利（年獲利=年銷售額一生產成本-投資）為z（萬元）．
（1）試寫出y與x之間的函數關系式（不寫x的取值范圍）；
（2）試寫出z與x之間的函數關系式（不寫x的取值范圍）；
（3）計算銷售單價為160元時的年獲利，并說明同樣的年獲利，銷售單價還可定為多少元？相應的年銷售量分別為多少萬件？
（4）公司計劃，在第一年按年獲利最大確定銷售單價進行銷售；到第二年年底獲利不低于1130萬元，請借助函數的大致圖象說明：第二年的銷售單價x（元）應確定在什么范圍內？

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100），則易求y與x之間的函數關系式．
（2）由題意易得Z與x之間的函數關系．
（3）當x=160時則可推出x²-340x+28800=0，解得x的值．在分別把x的兩個值代入y與x的函數關系式即可．
（4）把z與x的關系式化簡，得出當x=170時，z取最大值．
解答：解：（1）依題意知，當銷售單價定為x元時，年銷售量減少（x-100）萬件，
∴y=20-（x-100）=-x+30，
即y與x之間的函數關系式是y=-x+30．

（2）由題意得：
z=（30-x）（x-40）-500-1500=-x²+34x-3200，
即z與x之間的函數關系是z=-x²+34x-3200．

（3）∵當x=160時，z=--×160²+34×160-3200=-320
∴-320=-x²+34x-3200，
整理，得x²-340x+28800=0，
解得x₁=160，x₂=180．
即同樣的年獲利，銷售單價還可以定為180元，
當x=160時，y=-×160+30=14；
當x=180時，y=-×180+30=12．
即相應的年銷售量分別為14萬件和12萬件．

（4）∵z=-x²+34x-3200=-（x-170）²-310．
∴當x=170時，z取最大值，為-310，
即當銷售單價為170元，年獲利最大，并且第一年年底公司還差310萬元就可收回全部投資．
第二年的銷售單價定為x元時，年獲利為：
z=（30-x）（x-40）-310=-x²+34x-1510．
當z=1130時，即1130=-x²+34x-1510，
整理得x²-340x+26400=0，
解得：x₁=120，x₂=220．
函數z=-x²+34x-1510的圖象大致如圖所示，

由圖象可以看出：當120≤x≤220時，z≥1130．
故第二年的銷售單價應確定在不低于120元且不高于220元的范圍內．
點評：本題主要考查的是學生的作圖能力以及二次函數的實際應用，難度偏難．