Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)P（n，2），與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)C，PB⊥x軸于點(diǎn)B，且AC＝BC．

（1）求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式；

（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1， y＝；（2）反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，1）．

【解析】

（1）由AC＝BC，且OC⊥AB，利用等腰三角形三線(xiàn)合一得到O為AB中點(diǎn)，求出OB的長(zhǎng)，確定出B坐標(biāo)，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)，將P與A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，確定出一次函數(shù)解析式，將P坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出m的值，即可確定出反比例函數(shù)的解析式；

（2）假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0），

∴O為AB的中點(diǎn)，即OA＝OB＝4，

∴P（4，2），B（4，0），

將A（﹣4，0）與P（4，2）代入y＝kx+b得：

，解得

∴一次函數(shù)解析式為y＝x+1，

將P（4，2）代入反比例解析式得：，即反比例解析式為y＝；

（2）反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，理由如下：

假設(shè)存在這樣的D點(diǎn)，使四邊形BCPD為菱形，如圖所示，連接DC與PB交于E，

∵四邊形BCPD為菱形，

∴CE＝DE＝4，

∴CD＝8，

將x＝8代入反比例函數(shù)y＝得y＝1，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，1）

∴則反比例函數(shù)圖象上存在點(diǎn)D，使四邊形BCPD為菱形，此時(shí)D坐標(biāo)為（8，1）．