已知一元二次方程x2+ax+a-2=0.
(1)求證:不論a為何實(shí)數(shù),此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;
(2)設(shè)a<0,當(dāng)二次函數(shù)y=x2+ax+a-2的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的距離為時,求出此二次函數(shù)的解析式;
(3)在(2)的條件下,若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積為,若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo),若不存在請說明理由.
【解析】(1)判斷上述方程的根的情況,只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了,(2)根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)的距離公式解答即可.(3)是二次函數(shù)綜合應(yīng)用問題和三角形的綜合應(yīng)用
(1)因?yàn)椤鳎?i>a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,
所以不論a為何實(shí)數(shù),此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根.
(2)設(shè)x1、x2是y=x2+ax+a-2=0的兩個根,則x1+x2=-a,x1•x2=a-2,因兩交點(diǎn)的距離是,
所以|x1-x2|==.即:(x1-x2)2=13
變形為:(x1+x2)2-4x1•x2=13所以:(-a)2-4(a-2)=13
整理得:(a-5)(a+1)=0解方程得:a=5或-1
又因?yàn)椋?i>a<0,所以:a=-1
所以:此二次函數(shù)的解析式為y=x2-x-3.
(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離等于,
所以:AB=所以:S△PAB=AB•|y0|=
所以:=
即:|y0|=3,則y0=±3
當(dāng)y0=3時,x02-x0-3=3,即(x0-3)(x0+2)=0
解此方程得:x0=-2或3
當(dāng)y0=-2時,x02-x0-3=-3,即x0(x0-1)=0
解此方程得:x0=0或1
綜上所述,所以存在這樣的P點(diǎn),P點(diǎn)坐標(biāo)是(-2,3),(3,3),(0,-3)或(1,-3).
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