如圖,正方形ABCD中,有一直徑為BC的半圓,BC=2cm,現(xiàn)有兩點E、F,分別從點B、點A同時出發(fā),點精英家教網(wǎng)E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動,點F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點C運動,設(shè)點E離開點B的時間為t(秒).
(1)當(dāng)t為何值時,線段EF與BC平行?
(2)設(shè)1<t<2,當(dāng)t為何值時,EF與半圓相切?
(3)1≤t<2時,設(shè)EF與AC相交于點P,問點E、F運動時,點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,請給予證明,并求AP:PC的值.
分析:(1)如果EF∥BC,那么根據(jù)ABCD是正方形可知BEFC是矩形,則BE=CF,據(jù)此列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即為本問答案.
(2)如果EF與半圓相切,由1<t<2,正方形ABCD中BC=2cm,以及點E沿線段BA以1cm/s的速度向點A運動,點F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點C運動,可知此時E點在AB邊上,F(xiàn)點在CD邊上,那么根據(jù)切線長定理,得EF=BE+CF,則EF可用含t的代數(shù)式表示,過F點作KF∥BC交AB于K,得∠EKF=90°,KF=2,EK=BE-CF,EF也用含t的代數(shù)式表示,根據(jù)勾股定理得EF2=EK2+FK2列出關(guān)于關(guān)于t的方程,求出方程的解,再根據(jù)1<t<2來進(jìn)行取舍.
(3)因為P在AC上,而AC是定長,如果AP:PC的值是一個常數(shù),那么點P的位置就不發(fā)生變化,否則就發(fā)生變化.由1≤t<2,同樣可知此時E點在AB邊上,F(xiàn)點在CD邊上,那么由AB∥DC得出△AEP∽△CFP,從而AP:PC=AE:CF,用含t的代數(shù)式分別表示AE,CF,得出AE:CF=1:2,則AP:PC=1:2.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)設(shè)E、F出發(fā)后運動了t秒時,有EF∥BC(如圖1)則
BE=t,CF=4-2t,即有t=4-2t,t=
4
3
;
∴當(dāng)t為
4
3
秒時,線段EF與BC平行.

(2)設(shè)E、F出發(fā)后運動了t秒時,EF與半圓相切(如圖2),過F點作KF∥BC交AB于K,
則BE=t,CF=4-2t,EK=t-(4-2t)=3t-4,
EF=EB+FC=t+(4-2t)=4-t.
又∵EF2=EK2+FK2,
∴(4-t)2=(3t-4)2+22
即2t2-4 t+1=0,解得t=
2
2
,
∵1<t<2,∴t=
2+
2
2

∴當(dāng)t為
2+
2
2
秒時,EF與半圓相切,(8分)

(3)當(dāng)1≤t<2時,E、F出發(fā)后運動了t秒時,EF位置如圖3所示,則
BE=t,AE=2-t,CF=4-2t,
AE
FC
=
2-t
4-2t
=
1
2
,
又∵AB∥DC,
∴△AEP∽△CFP.
AP
PC
=
AE
FC
=
1
2
;
即點P位置與t的取值無關(guān).
∴當(dāng)1≤t<2時,點P的位置不會發(fā)生變化,且AP:PC的值為
1
2
.(12分)
點評:本題主要考查了相似三角形的判定,切線的性質(zhì)等.由于E,F(xiàn)是動點,根據(jù)已知條件確定他們的大致位置是本題的關(guān)鍵.
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2
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