(本題滿分12分,任選一題作答.)
Ⅰ、如圖①,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),邊長為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上.點(diǎn)C、D同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)C以1單位長/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D以2個(gè)單位長/秒的速度沿折線OBA運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,0<t<5.
(1)當(dāng)0<t<
52
時(shí),證明DC⊥OA;
(2)若△OCD的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)以點(diǎn)C為中心,將CD所在的直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交AB邊于點(diǎn)E,若以O(shè)、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
Ⅱ、(1)如圖Ⅱ-1,已知△ABC,過點(diǎn)A畫一條平分三角形面積的直線;
(2)如圖Ⅱ-2,已知l1∥l2,點(diǎn)E,F(xiàn)在l1上,點(diǎn)G,H在l2上,試說明△EGO與△FHO面積相等.
(3)如圖Ⅱ-3,點(diǎn)M在△ABC的邊上,過點(diǎn)M畫一條平分三角形面積的直線.
分析:Ⅰ、(1)當(dāng)0<t<
5
2
時(shí),點(diǎn)C不過OA中點(diǎn),想證明垂直應(yīng)先作出一條和CD有關(guān)的垂線,利用相似求解;
(2)應(yīng)分當(dāng)0<t<
5
2
時(shí),和
5
2
≤t<5時(shí)兩種情況探討,應(yīng)用t表示利用特殊的三角函數(shù)表示出OC邊上的高.進(jìn)而表示出面積即可.
(3)以O(shè)、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形,那么應(yīng)根據(jù)(1)(2)中的兩種類型的三角形,可分DE∥CO、CD∥OE兩種情況進(jìn)行探討;
Ⅱ、(1)根據(jù)三角形的面積公式,只需過點(diǎn)A和BC的中點(diǎn)畫直線即可;
(2)結(jié)合平行線間的距離相等和三角形的面積公式即可證明;
(3)結(jié)合(1)和(2)的結(jié)論進(jìn)行求作.
解答:、解:(1)作BG⊥OA于G.
在Rt△OBG中,
OG
OB
=cos∠BOA=cos60°=
1
2
,
OC
OD
=
1
2
,
OG
OB
=
OC
OD
,
又∵∠DOC=∠BOG,
∴△DOC∽△BOG,
∴∠DCO=∠BGO=90°.
即DC⊥OA;

(2)當(dāng)0<t<
5
2
時(shí),
在Rt△OCD中,CD=OD×sin60°=2t×
3
2
=
3
t,
∴S=
1
2
×OC×CD=
1
2
×t×
3
t=
3
2
t2;
當(dāng)
5
2
≤t<5時(shí)(如圖2)
過點(diǎn)D作DH⊥OA于H.
在Rt△AHD中,
HD=AD×sin60°=(10-2t)×
3
2
=
3
(5-t),
S=
1
2
×OC×HD=
1
2
×t×
3
(5-t)=
5
3
2
t-
3
2
t2

(3)當(dāng)DE∥OC時(shí),△DBE是等邊三角形.(如圖3)
BE=BD=5-2t.
在△CAE中,∠ECA=90°-∠DCE=30°,∠BAO=60°,
∴∠CEA=90°.
而AC=5-t,∴AE=
1
2
AC=
5-t
2
,
∴BE+AE=(5-2t)+
5-t
2
=5,
∴t=1,
因此AE=
5-t
2
=2.
過點(diǎn)E作EM⊥OA于M.
則EM=AE×sin60°=2×
3
2
=
3
,
AM=AE×cos60°=2×
1
2
=1,OM=OA-AM=4.
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,
3
);
當(dāng)CD∥OE時(shí)(如圖4),BD=2t-5.
∠OEA=90°,∴CD⊥AB.
而△OAB是等邊三角形,
∴DE=BD-
1
2
AB=
5
2
,
∴2t-5=
5
2
,
∴t=
15
4
,
因此AE=
5-t
2
=
5
8
,
∴E的縱坐標(biāo)為
5
8
×
3
2
=
5
3
16
,
橫坐標(biāo)為5-
5
8
×
1
2
=
75
16

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(
75
16
,
5
3
16
);
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(4,
3
)或(
75
16
5
3
16
);

Ⅱ、(1)解:取BC的中點(diǎn)D,過A、D畫直線,則直線AD為所求;

(2)證明:∵l1∥l2
∴點(diǎn)E,F(xiàn)到l2之間的距離都相等,設(shè)為h.
∴S△EGH=
1
2
GH•h,S△FGH=
1
2
GH•h,
∴S△EGH=S△FGH
∴S△EGH-S△GOH=S△FGH-S△GOH,
∴△EGO的面積等于△FHO的面積;

(3)解:取BC的中點(diǎn)D,連接MD,過點(diǎn)A作AN∥MD交BC于點(diǎn)N,過M、N畫直線,則直線MN為所求.
點(diǎn)評(píng):Ⅰ、是一道旋轉(zhuǎn)與運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的大題,并且聯(lián)系函數(shù)與四邊形知識(shí),要注意這些知識(shí)點(diǎn)間的融會(huì)貫通.
Ⅱ、主要是根據(jù)三角形的面積公式,知:三角形的中線把三角形的面積等分成了相等的兩部分;同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分12分)

 已知菱形ABCD的邊長為1.∠ADC=60°,等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

1.(1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證:菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心;

2.(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P.

①猜想驗(yàn)證:如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;

②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)△AEF面積最小時(shí),過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長線于點(diǎn)N,試判斷是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值;若不是.請(qǐng)說明理由。

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(本題滿分12分)
已知菱形ABCD的邊長為1.∠ADC=60°,等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。
【小題1】(1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證:菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心;
【小題2】(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P.
①猜想驗(yàn)證:如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;
②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)△AEF面積最小時(shí),過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長線于點(diǎn)N,試判斷是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值;若不是.請(qǐng)說明理由。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆陜西省興平市秦嶺中學(xué)九年級(jí)上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題滿分12分)
已知菱形ABCD的邊長為1.∠ADC=60°,等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。
【小題1】(1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證:菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心;
【小題2】(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P.
①猜想驗(yàn)證:如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;
②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)△AEF面積最小時(shí),過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長線于點(diǎn)N,試判斷是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值;若不是.請(qǐng)說明理由。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年陜西省興平市九年級(jí)上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)卷 題型:解答題

(本題滿分12分)

 已知菱形ABCD的邊長為1.∠ADC=60°,等邊△AEF兩邊分別交邊DC、CB于點(diǎn)E、F。

1.(1)特殊發(fā)現(xiàn):如圖1,若點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB的中點(diǎn).求證:菱形ABCD對(duì)角線AC、BD交點(diǎn)O即為等邊△AEF的外心;

2.(2)若點(diǎn)E、F始終分別在邊DC、CB上移動(dòng).記等邊△AEF的外心為點(diǎn)P.

①猜想驗(yàn)證:如圖2.猜想△AEF的外心P落在哪一直線上,并加以證明;

②拓展運(yùn)用:如圖3,當(dāng)△AEF面積最小時(shí),過點(diǎn)P任作一直線分別交邊DA于點(diǎn)M,交邊DC的延長線于點(diǎn)N,試判斷是否為定值.若是.請(qǐng)求出該定值;若不是.請(qǐng)說明理由。

 

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