Question

（2012•呼和浩特）如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）與雙曲線y=

k

x

相交于點(diǎn)A，B，且拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)B在第四象限內(nèi)，過點(diǎn)B作直線BC∥x軸，點(diǎn)C為直線BC與拋物線的另一交點(diǎn)，已知直線BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸的距離的4倍，記拋物線頂點(diǎn)為E．
（1）求雙曲線和拋物線的解析式；
（2）計(jì)算△ABC與△ABE的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D，使△ABD的面積等于△ABE的面積的8倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可得出k的值，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-4m）（m＞0），根據(jù)雙曲線方程可得出m的值，然后分別得出了A、B、O的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合拋物線方程可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而可得出三角形ABC的面積，先求出AB的解析式，然后求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，及EF的長(zhǎng)，繼而根據(jù)S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF可得出答案．
（3）先確定符合題意的三角形ABD的面積，繼而可得出當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，滿足條件，過點(diǎn)C作AB的平行線CD，則可求出其解析式，求出其與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-2，2）在雙曲線y=

k

x

上，
∴k=-4，
∴雙曲線的解析式為y=-

4

x

，
∵BC與x軸之間的距離是點(diǎn)B到y(tǒng)軸距離的4倍，
∴設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-4m）（m＞0）代入雙曲線解析式得m=1，
∴拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）過點(diǎn)A（-2，2）、B（1，-4）、O（0，0），
∴

4a-2b+c=2 a+b+c=-4 c=0

，
解得：

a=-1 b=-3 c=0

，
故拋物線的解析式為y=-x²-3x；

（2）∵拋物線的解析式為y=-x²-3x，
∴頂點(diǎn)E（-

3

2

，

9

4

），對(duì)稱軸為x=-

3

2

，
∵B（1，-4），
∴-x²-3x=-4，
解得：x₁=1，x₂=-4，
∵C_{橫坐標(biāo)}＜0，
∴C（-4，-4），
∴S_△ABC=5×6×

1

2

=15，
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），（1，-4）可求得直線AB的解析式為：y=-2x-2，
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)F，連接BE，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

2

，1），
∴EF=

9

4

-1=

5

4

，
∴S_△ABE=S_△AEF+S_△BEF=

1

2

×EF×|A_橫|+

1

2

EF×|B_橫|=

1

2

×

5

4

×（|A_橫|+|B_橫|）=

1

2

×

5

4

×3=

15

8

；

（3）S_△ABE=

15

8

，
∴8S_△ABE=15，
∴當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，顯然滿足條件；
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C不重合時(shí)，過點(diǎn)C作AB的平行線CD，其對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式為y=-2x-12，
令-2x-12=-x²-3x，
∴x²+x-12=0，
∴（x-4）（x+3）=0，
解得x₁=3，x₂=-4（舍去），
當(dāng)x=3時(shí)，y=-18，
故存在另一點(diǎn)D（3，-18）滿足條件．
綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，-18）或（-4，-4）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于二次函數(shù)的綜合題目，第一問的解答關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法的運(yùn)用，求解第二問需要我們會(huì)根據(jù)函數(shù)解析式求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，此類綜合題目，難度較大，注意逐步分析．