Question

（2013•自貢）將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A₁B₁C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點(diǎn)P₁是A₁C與AB的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是A₁B₁與BC的交點(diǎn)，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B₁C上取一點(diǎn)E，連接BE、P₁E，設(shè)BC=1，當(dāng)BE⊥P₁B時(shí)，求△P₁BE面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先判斷∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可證明△B₁CQ≌△BCP₁，從而得出結(jié)論．
（2）作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，繼而可得出CQ的長度．
（3）證明△AP₁C∽△BEC，則有AP₁：BE=AC：BC=

3

：1，設(shè)AP₁=x，則BE=

3

3

x，得出S_△P1BE關(guān)于x的表達(dá)式，利用配方法求最值即可．

解答：（1）證明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，
∵在△B₁CQ和△BCP₁中，

∠B1CQ=∠BCP1 B1C=BC ∠B1=∠B

，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA），
∴CQ=CP₁；

（2）作P₁D⊥CA于D，

∵∠A=30°，
∴P₁D=

1

2

AP₁=1，
∵∠P₁CD=45°，
∴

P1D

CP1

=sin45°=

2

2

，
∴CP₁=

2

P₁D=

2

，
又∵CP₁=CQ，
∴CQ=

2

；

（3）∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=

3

BC，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ACP₁=∠BCE，
∴△AP₁C∽△BEC，
∴AP₁：BE=AC：BC=

3

：1，
設(shè)AP₁=x，則BE=

3

3

x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S_△P1BE=

1

2

×

3

3

x（2-x）=-

3

6

x²+

3

3

x
=-

3

6

（x-1）²+

3

6

，
故當(dāng)x=1時(shí)，S_{△P1BE（max）}=

3

6

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題需要我們熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及配方法求二次函數(shù)的最值，有一定難度．