Question

如圖，點E為矩形ABCD的邊AD上一點，BE=BC，EF平分∠AEB交AB于點F，連FC．
（1）求證：EF⊥EC；
（2）

AB

BC

=

EC

FC

．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是矩形與BC=BE，易證得∠CED=∠CEB=

1

2

∠DEB，又由∠AEF=∠BEF=

1

2

∠AEB，即可證得EF⊥EC；
（2）易證得點B，C，E，F(xiàn)四點共圓，∠BEF=∠BCF，又由等角的余角相等，證得∠BCF=∠ECD，由∠FBC=∠D=90°，可證得△FBC∽△EDC，繼而證得

AB

BC

=

EC

FC

．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CED=∠ECB，
∵BC=BE，
∴∠ECB=∠CEB，
∴∠CED=∠CEB=

1

2

∠DEB，
∵EF平分∠AEB，
∴∠AEF=∠BEF=

1

2

∠AEB，
∴∠FEC=∠FEB+∠CEB=

1

2

∠AEB+

1

2

∠DEB=

1

2

（∠AEB+∠DEB）=

1

2

×180°=90°，
∴EF⊥EC；

（2）∵EF⊥BC，
∴∠FEC=90°，
∵∠FBC=90°，
∴∠FBC+∠FEC=180°，
∴點B，C，E，F(xiàn)四點共圓，
∴∠BEF=∠BCF，
∵∠BEF+∠DEC=90°，∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠BCF=∠ECD，
∵∠FBC=∠D=90°，
∴△FBC∽△EDC，
∴

FC

EC

=

BC

CD

，
∵CD=AB，
∴

AB

BC

=

EC

FC

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、垂直的定義以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．