Question

如圖，已知一次函數(shù)y＝0.5x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)y＝ax²+bx+c的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)y＝ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC＝2．

（1）求二次函數(shù)y＝ax²+bx+c的解析式；

（2）設(shè)一次函數(shù)y＝0.5x+2的圖象與二次函數(shù)y＝ax²+bx+c的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵y=0.5x+2交x軸于點(diǎn)A，

∴0=0.5x+2，

∴x=﹣4，

與y軸交于點(diǎn)B，

∵x=0，

∴y=2

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，2），

∴A（﹣4，0），B（0，2），

∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC=2

∴可設(shè)二次函數(shù)y=a（x﹣2）²，

把B（0，2）代入得：a=0.5

∴二次函數(shù)的解析式：y=0.5x²﹣2x+2；

（2）（Ⅰ）當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)B作BP₁⊥AD交x軸于P₁點(diǎn)由Rt△AOB∽R(shí)t△BOP₁∴=，

∴=，

得：OP₁=1，

∴P₁（1，0），

（Ⅱ）作P₂D⊥BD，連接BP₂，

將y=0.5x+2與y=0.5x²﹣2x+2聯(lián)立求出兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)：D點(diǎn)坐標(biāo)為：（5，4.5），

則AD=，

當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)

∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，

∴△ABO∽△AP₂D，

∴=，

=，

解得：AP₂=11.25，

則OP₂=11.25﹣4=7.25，

故P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（7.25，0）；

（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，設(shè)P₃（a，0）

則由Rt△OBP₃∽R(shí)t△EP₃D

得：，

∴，

∵方程無(wú)解，

∴點(diǎn)P₃不存在，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．