(2003•金華)如圖,已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC沿著直線l滾動(dòng).
(1)當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A1B1C1的位置,此時(shí)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為_(kāi)_____;約為_(kāi)_____;(精確到0.1,π=3.14…)
(2)設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí),C點(diǎn)的位置為C′,△ABC滾動(dòng)480°時(shí),A點(diǎn)的位置為A′.請(qǐng)你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα•tanβ),求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù).

【答案】分析:(1)由圖形可以看出,△ABC滾動(dòng)的軌跡正好為兩個(gè)半徑為2的三分之一的圓周長(zhǎng);
(2)先求出正三角形的高,再利用三角函數(shù)求出tan∠CAC’與tan∠CAA′的值,然后通過(guò)等量代換求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù).
解答:解:(1)當(dāng)△ABC滾動(dòng)一周到△A1B1C1的位置,此時(shí)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為兩個(gè)半徑為2的三分之一的圓周長(zhǎng),
即A點(diǎn)的路程長(zhǎng)為:2××2×3.14×2=8.37758;
約為8.4.

(2)設(shè)△ABC滾動(dòng)240°時(shí),C點(diǎn)的位置為C’,△ABC滾動(dòng)480°時(shí),A點(diǎn)的位置為A′.
∵正△ABC的邊長(zhǎng)為2
∴正△ABC的高為
tan∠CAC′==
tan∠CAA′==
所以:由公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα•tanβ),
得:tan(∠CAC′+∠CAA′)
=(tan∠CAC′+tan∠CAA′)÷(1-tan∠CAC′•tan∠CAA′)
=(+)÷(1-×
=
所以:∠CAC′+∠CAA′=30°.
點(diǎn)評(píng):正確判斷△ABC滾動(dòng)的軌跡,利用轉(zhuǎn)化思想和等量代換思想是解答此題的關(guān)鍵.
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(2003•金華)如圖所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng);同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x.
(1)當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC;
(2)當(dāng),求的值;
(3)△APQ能否與△CQB相似?若能,求出AP的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(2003•金華)如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的點(diǎn),請(qǐng)你添加一個(gè)條件,使△ABC與△AED相似,你添加的條件是   

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(2003•金華)如圖,⊙O1,⊙O2交于兩點(diǎn),點(diǎn)O1在⊙O2上,兩圓的連心線交⊙O1于E,D,交⊙O2于F,交AB于點(diǎn)C.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給出的條件(不再標(biāo)注其它字母,不再添加任何輔助線),寫(xiě)出兩個(gè)線段之間的關(guān)系式:(1)    (2)    (半徑相等除外).

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(2003•金華)如圖,⊙O1,⊙O2交于兩點(diǎn),點(diǎn)O1在⊙O2上,兩圓的連心線交⊙O1于E,D,交⊙O2于F,交AB于點(diǎn)C.請(qǐng)你根據(jù)圖中所給出的條件(不再標(biāo)注其它字母,不再添加任何輔助線),寫(xiě)出兩個(gè)線段之間的關(guān)系式:(1)    (2)    (半徑相等除外).

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