Question

由下列條件解題：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知b=10，∠B=60°，求∠A，a，c．
（2）已知a=20，b=20

3

，求∠A，∠B，c．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，由∠C和∠B的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠A的度數(shù)，再由∠A為30°，根據(jù)直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可得出a等于c的一半，設(shè)a=x，則有c=2x，由b的長(zhǎng)，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出a與c的值即可；
（2）由三角形ABC為直角三角形，c為斜邊，由a與b的長(zhǎng)，利用勾股定理求出c的長(zhǎng)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出sinA和sinB的值，由A和B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出∠A和∠B的度數(shù)．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=180°-（∠C+∠B）=30°，
∴a=

1

2

c，設(shè)a=x（x＞0），則c=2x，又b=10，
根據(jù)勾股定理得：a²+b²=c²，即x²+10²=（2x）²，
整理得：3x²=100，解得：x=

10 3

3

，
∴∠A=30°，a=

10 3

3

，c=

20 3

3

；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=20，b=20

3

，
根據(jù)勾股定理得：c=

a2+b2

=40，
∴sinA=

a

c

=

20

40

=

1

2

，sinB=

20 3

40

=

3

2

，
又∠A和∠B都為三角形的內(nèi)角，
∴∠A=30°，∠B=60°．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：三角形的內(nèi)角和定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．