Question

如圖，平行四邊形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，P、Q同時(shí)出發(fā)，速度都是1cm/s
（1）P、Q移動(dòng)幾秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形；
（2）設(shè)S_△PBQ=y，請(qǐng)寫(xiě)出y（cm²）與點(diǎn)P、Q的移動(dòng)時(shí)間x（s）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
（3）能否使S_△PBQ=

1

3

SABCD？若不能請(qǐng)說(shuō)明理由，若能，也說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出PB、BQ的長(zhǎng)度，然后根據(jù)等腰三角形的兩邊PB=BQ，列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得AD∥BC，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，垂足為E，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠QBE=45°，然后求出QE的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）假設(shè)能成立，列式并整理得到關(guān)于x方程，如果方程有解且在x的取值范圍內(nèi)，則能，否則不能．

解答：解：（1）設(shè)P、Q移動(dòng)x秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形，
則PB=AB-AP=8-x，BQ=x，
∵PB=BQ，
∴8-x=x，
解得x=4；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，垂足為E，
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∵∠A=45°，
∴∠QBE=∠A=45°，
∴QE=QB•sin45°=

2

2

x，
∴S_△PBQ=y=

1

2

×PB×QE，
=

1

2

×（8-x）×

2

2

x，
=-

2

4

x²+2

2

x；
∵P從點(diǎn)A沿AB邊向點(diǎn)B移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，
∴0≤x≤6，
∴函數(shù)關(guān)系式為：y=-

2

4

x²+2

2

x（0≤x≤6）；

（3）不能．
理由如下：假設(shè)能，
∵AB=8cm，BC=6cm，∠A=45°，
∴S_ABCD=AB•BCsin45°=8×6×

2

2

=24

2

，
∴-

2

4

x²+2

2

x=

1

3

×24

2

，
整理得x²-8x+32=0，
∵△=b²-4ac=（-8）²-4×1×32=-64＜0，
∴此方程無(wú)解．
故不能．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的兩邊相等的性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用，是綜合性題目，難度較大，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)表示出邊PB、QB的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵，難度較大，計(jì)算時(shí)一定要仔細(xì)小心．