Question

（2012•德化縣模擬）如圖，已知：△ABC是邊長為2

3

的等邊三角形，四邊形DEFG是邊長為3的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒

1

2

個(gè)單位長度的速度沿EF方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)，設(shè)△ABC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）在運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)AC交DE于點(diǎn)P，PE=

3

2

t；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，
①當(dāng)t為何值時(shí)，S等于△ABC面積的三分之一；
②當(dāng)點(diǎn)A在DG上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出t的取值范圍；
（3）如圖2，若四邊形DEFG是邊長為2

3

的正方形，△ABC的移動(dòng)速度為每秒

3

2

個(gè)單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動(dòng)的同時(shí)，Q點(diǎn)從F點(diǎn)開始，沿折線F-G-D以每秒

3

個(gè)單位長度開始移動(dòng)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中，DE交折線B-A-C于P點(diǎn)，則是否存在t的值，使得PC與EQ互相垂直？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△ABC運(yùn)動(dòng)速度以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和等邊三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）①利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜2

3

時(shí)重疊部分的面積進(jìn)而得出S等于△ABC面積的三分之一時(shí)t的值；
②利用三角形的面積公式可以表示出2

3

≤t≤6時(shí)重疊部分的面積；
（3）再運(yùn)動(dòng)中當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以求出t值；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDF，可以求出t值．

解答：解：（1）∵EC=

1

2

t，∠PCE=60°，
∴PE=EC×tan60°=

3

2

t，
故答案為：

3

2

；

（2）依題意得：EC=

1

2

t，
①當(dāng)0≤t＜2

3

時(shí)，S=

1

2

EC•PE=

3

8

t2
易求得等邊三角形ABC的高為3，
∴S_△ABC=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∵S=

1

3

S_△ABC
∴

3

8

t2=

1

3

×3

3

解得t=2

2

；
②當(dāng)0≤t＜2

3

時(shí)，
S=

1

2

EC•PE=

3

8

t2；
當(dāng)2

3

≤t≤6時(shí)，
S=S_△ABC-S_△BPE=3

3

-

1

2

BE×PF
=3

3

-

1

2

×（2

3

-

1

2

t）（2

3

-

1

2

t）×

3

=-

3

8

t²+3t-3

3

；

（3）存在，
當(dāng)∠EPC=∠FEQ時(shí)，PC與EQ互相垂直，
當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，
∵∠QEF+∠ECP=90°，
∠QEF+∠EQF=90°，
∴∠ECP=∠EQF，
又∵∠PEC=∠F=90°，
∴△PEC∽△EFQ，
∴

PE

EF

=

EC

FQ

即

3 2 t

2 3

=

3 2 t

3 t

，
解得：t=

2

3

3

；
當(dāng)2≤t＜4時(shí)，如圖3，
∵∠DQE+∠DEQ=90°，
∠CPE+∠PEQ=90°，
∴∠DQE=∠EPC，
又∵∠PEC=∠D=90°，
∴△PEC∽△QDE，
∴

PE

QD

=

EC

DE

即

(2 3 - 3 2 t) 3

4 3 - 3 t

=

3 2 t

2 3

，
化簡得：t²-（4+2

3

）t+8

3

=0，
解得：t₁=4，t₂=2

3

，
∴當(dāng)t=

2

3

3

，4或2

3

時(shí)，PC與EQ互相垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，利用分段函數(shù)性質(zhì)求出是解題關(guān)鍵．