Question

如圖，∠MBN的兩邊BM，BN上分別有兩點A、C，滿足BC=2BA，作□ABCD，取AD的中點E，作CF⊥CD，CF與AB所在的直線交于點F。

（1）當∠B=時，直接寫出∠DEF的度數；

（2）在射線BM繞B點旋轉的過程中，若∠B=，∠DEF=（＜X＜，＜Y＜），求：Y關于X的函數解析式及相應自變量X的取值范圍，           

 

Answer 1

【答案】

(1)∠DEF=°；…………2分

　　 　 (2)對∠B的大小分三種情況討論如下：

①當時，點F在線段AB上(見圖7-1)。

延長FE，并與CD的延長線交于點G，記∠AFE=。

∵ ABCD，∴ AB∥CD，AD=BC，AB=CD，∠3=∠B=x°。

∴ ∠DGE=∠AFE=。

可得 △AEF≌△DEG。

∴ EF=EG，CE為Rt△CFG斜邊的中線。

∴ EF=EG，∠1=∠G=。

∵ BC=2AB，

∴ 2DE=2CD，DE=CD。

∴ 等腰三角形△CDE中，∠1=。

∴ 

…………3分

 <1>當∠B=90°時，點F與點B重合，(見圖7-2)　 此時∠DEF=135°，，

所以仍成立�！�………4分

<2>當∠B=60°時，點F與點A重合，∠DEF=180°不合題意(見圖7-3)。

②當時，點F在線段AB的延長線上(見圖7-4)。

與①同理可得。…………6分

　　

③當時，點F在線段BA的延長線上(如圖7-5)。

與①同理可得CE為Rt△CFG斜邊的中線，EC=EG，DE=CD。

∴ △CEG和△CDE為等腰三角形。

在等腰三角形△CEG中，∠1=180°-2∠2，在等腰三角形△CDE中，，

∴ ∠DEF=180°-∠3=180°-(∠CED-∠1)=360°-3∠2=。…………7分

綜上所述，當時，；

當時，。

【解析】（1）當∠B=時，四邊形ABCD是矩形，F點和B點重合，從而得出∠DEF的度數；

（2）分三種情況進行討論。