Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為（1，0），且經(jīng)過點（0，1）．
（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式；
（2）將該拋物線向下平移m（m＞0）個單位，設(shè)得到的拋物線的頂點為A，與x軸的兩個交點為B、C，若△ABC為等邊三角形．
①求m的值；
②設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為點D，在拋物線上是否存在點P，使四邊形CBDP為菱形？若存在，寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標及函數(shù)經(jīng)過點（0，1），利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）①先寫出平移后的函數(shù)解析式，然后得出A、B、C三點的坐標，過點A作AH⊥BC于H，根據(jù)△ABC為等邊三角形，可得出關(guān)于m的方程，解出即可；
②求出點D坐標，分兩種情況進行討論，①PD為對角線，②PD為邊，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）由題意可得，

a+b+c=0 - b 2a =1 c=1.

，
解得

a=1 b=-2 c=1.

，
故拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=x²-2x+1；

（2）①將y=x²-2x+1向下平移m個單位得：y=x²-2x+1-m=（x-1）²-m，
可知A（1，-m），B（1-

m

，0），C（1+

m

，0），BC=2

m

，
過點A作AH⊥BC于H，
∵△ABC為等邊三角形，
∴BH=HC=

1

2

BC，∠CAH=30°，
∴AH=

HC

tan∠CAH

，即

m

3 3

=m，
由m＞0，解得m=3．
②在拋物線上存在點P，能使四邊形CBDP為菱形．理由如下：
∵點D與點A關(guān)于x軸對稱，
∴D（1，3），
①當DP為對角線時，顯然點P在點A位置上時，符合題意，
故此時點P坐標為（1，-3）；
②當DP為邊時，要使四邊形CBDP為菱形，需DP∥BC，DP=BC．
由點D的坐標為（1，3），DP=BC=2

3

，可知點P的橫坐標為1+2

3

，
當x=1+2

3

時，y=x²-2x+1-m=x²-2x-2=(1+2

3

)2-2（1+2

3

）-2=11≠3，
故不存在這樣的點P．
綜上可得，存在使四邊形CBDP為菱形的點P，坐標為（1，-3）．

點評：此題屬于二次函數(shù)的綜合題，屬于綜合性較強的題目，應(yīng)理清思路，對每一個知識點都應(yīng)熟練掌握并能靈活運用，求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，應(yīng)熟練掌握三點式和頂點式求拋物線解析式的方法，二次函數(shù)的平移通常指的是圖象的平移，應(yīng)注意總結(jié)平移的規(guī)律．