Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過，，對(duì)稱軸為直線．

（1）求該拋物線和直線的解析式；

（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試用含的代數(shù)式表示的面積，并求出面積的最大值；

（3）設(shè)P點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，為拋物線上的點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、P、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出符合條件的所有點(diǎn)坐標(biāo)，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，有最大值為4；（3）存在，坐標(biāo)或或．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得點(diǎn)B坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法分別求函數(shù)解析式即可；

（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，過作軸，交直線于點(diǎn)，則坐標(biāo)為，然后根據(jù)三角形面積公式求得，從而用二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最值；

（3）利用平行四邊形的性質(zhì)，分四邊形CPMB是平行四邊形時(shí)，BN=PK=1；四邊形CMPB是平行四邊形時(shí)，CN=BO-1=3；四邊形CPBM是平行四邊形時(shí)，BN=OP=1三種情況確定M點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而代入二次函數(shù)解析式求M點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵，對(duì)稱軸為直線．

∴

設(shè)二次函數(shù)解析式為

將C（0，2）代入解析式，得，解得

∴

∴拋物線解析式為：，

設(shè)直線BC的解析式為

將B（4，0）、C（0，2）代入解析式，得

，解得

∴直線解析式為

（2）過作軸，交直線于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，則坐標(biāo)為

∴

∴

∵a=-1＜0

∴當(dāng)時(shí)，有最大值為4．

（3）存在

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為

如圖，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，過點(diǎn)P作PK⊥y軸，

①當(dāng)四邊形CPMB是平行四邊形時(shí)，BN=PK=1

∴a=5

∴

∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（5，-3）

②當(dāng)四邊形CMPB是平行四邊形時(shí)，CN=BO-1=3

∴a=-3

∴

∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-7）

③當(dāng)四邊形CPBM是平行四邊形時(shí)，BN=OP=1

∴a=3

∴

∴此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）

綜上所述，坐標(biāo)為或或．