Question

已知A₁、A₂、A₃是拋物線上的三點,A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃分別垂直于x軸，垂足為B₁、B₂、B₃，直線A₂B₂交線段A₁A₃于點C。

（1） 如圖1，若A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，求線段CA₂的長。

（2）如圖2，若將拋物線改為拋物線，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線段CA₂的長。

（3）若將拋物線改為拋物線，A₁、A₂、A₃三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，請猜想線段CA₂的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案）。

Answer 1

解：（1）∵A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次為1、2、3，

∴A₁B₁= ，A₂B₂＝，A₃B₃＝

設直線A₁A₃的解析式為y＝kx＋b。

∴ 解得

∴直線A₁A₂的解析式為。

∴CB₂＝2×2－＝

∴CA₂=CB₂－A₂B₂=－2＝。

　(2)設A₁、A₂、A₃三點的橫坐標依次n－1、n、n＋1。

　　　　　　　 則A₁B₁= ，A₂B₂=n²－n＋1，

　　　　　　　　 A₃B₃=(n＋1)²－（n＋1）＋1。

設直線A₁A₃的解析式為y＝kx＋b

∴

解得

∴直線A₁A₃的解析式為

∴CB₂＝n（n－1）－n²＋＝n²－n＋

∴CA₂= CB₂－A₂B₂=n²－n＋－n²＋n－1＝。

　　　　　(3)當a＞0時，CA₂＝a；當a＜0時，CA₂＝－a