【題目】如圖1,在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8.以O(shè)B為一邊,在△OAB外作等邊三角形OBC,D是OB的中點(diǎn),連接AD并延長(zhǎng)交OC于E.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求證:四邊形ABCE是平行四邊形;
(3)如圖2,將圖1中的四邊形ABCO折疊,使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,折痕為FG,求OG的長(zhǎng).

【答案】
(1)解:在△OAB中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,

∴OA=OBcos30°=8× =4

AB=OBsin30°=8× =4,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4 ,4)


(2)證明:∵∠OAB=90°,

∴AB⊥x軸,

∵y軸⊥x軸,

∴AB∥y軸,即AB∥CE,

∵∠AOB=30°,

∴∠OBA=60°,

∵DB=DO=4

∴DB=AB=4

∴∠BDA=∠BAD=120°÷2=60°,

∴∠ADB=60°,

∵△OBC是等邊三角形,

∴∠OBC=60°,

∴∠ADB=∠OBC,

即AD∥BC,

∴四邊形ABCE是平行四邊形


(3)解:設(shè)OG的長(zhǎng)為x,

∵OC=OB=8,

∴CG=8﹣x,

由折疊的性質(zhì)可得:AG=CG=8﹣x,

在Rt△AOG中,AG2=OG2+OA2,

即(8﹣x)2=x2+(4 2,

解得:x=1,

即OG=1


【解析】(1)由在△ABO中,∠OAB=90°,∠AOB=30°,OB=8,根據(jù)三角函數(shù)的知識(shí),即可求得AB與OA的長(zhǎng),即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)首先可得CE∥AB,D是OB的中點(diǎn),根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,可證得BD=AD,∠ADB=60°,又由△OBC是等邊三角形,可得∠ADB=∠OBC,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行,可證得BC∥AE,繼而可得四邊形ABCD是平行四邊形;(3)首先設(shè)OG的長(zhǎng)為x,由折疊的性質(zhì)可得:AG=CG=8﹣x,然后根據(jù)勾股定理可得方程(8﹣x)2=x2+(4 2 , 解此方程即可求得OG的長(zhǎng).

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(1)本次共抽查了多少名學(xué)生?

(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖空缺部分,直接寫(xiě)出扇形統(tǒng)計(jì)圖中跳繩次數(shù)范圍135≤x≤155所在扇形的圓心角度數(shù).

(3)若本次抽查中,跳繩次數(shù)在125次以上(含125次)為優(yōu)秀,請(qǐng)你估計(jì)全市8000名八年級(jí)學(xué)生中有多少名學(xué)生的成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀?

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