(2013•懷化)如圖,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFG的頂點(diǎn)D在邊AC上,點(diǎn)E、F在邊AB上,點(diǎn)G在邊BC上.
(1)求證:△ADE≌△BGF;
(2)若正方形DEFG的面積為16cm2,求AC的長(zhǎng).
分析:(1)先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠B=∠A=45°,再根據(jù)四邊形DEFG是正方形可得出∠BFG=∠AED,故可得出∠BGF=∠ADE=45°,GF=ED,由全等三角形的判定定理即可得出結(jié)論;
(2)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G,由正方形DEFG的面積為16cm2可求出其邊長(zhǎng),故可得出AB的長(zhǎng),在Rt△ADE中,根據(jù)勾股定理可求出AD的長(zhǎng),再由相似三角形的判定定理得出△ADE∽△ACG,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AC的長(zhǎng).
解答:(1)證明:∵△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,
∴∠B=∠A=45°,
∵四邊形DEFG是正方形,
∴∠BFG=∠AED=90°,
故可得出∠BGF=∠ADE=45°,GF=ED,
∵在△ADE與△BGF中,
∠BFG=∠AED
GF=DE
∠BGF=∠ADE
,
∴△ADE≌△BGF(ASA);


(2)解:過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)H,
∵正方形DEFG的面積為16cm2
∴DE=AE=4cm,
∴AB=3DE=12cm,
∵△ABC是等腰直角三角形,CH⊥AB,
∴AH=
1
2
AB=
1
2
×12=6cm,
在Rt△ADE中,
∵DE=AE=4cm,
∴AD=
AE2+DE2
=
42+42
=4
2
cm,
∵CH⊥AB,DE⊥AB,
∴CH∥DE,
∴△ADE∽△ACH,
AE
AH
=
AD
AC
,
4
6
=
4
2
AC

解得AC=6
2
cm.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì),熟知相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解答此題的關(guān)鍵.
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