Question

如圖，已知△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，如果點P在線段AC上以1厘米/秒的速度由A點向C點運動，同時，點Q在線段BC上由C點向B點運動，運動速度與點P的運動速度相等，點M是AB的中點．
（1）在點P和點Q運動過程中，△APM與△CQM是否保持全等，請說明理由；
（2）在點P和點Q運動過程中，四邊形PMQC的面積是否變化？若變化說明理由；若不變，求出這個四邊形的面積；
（3）線段AP、PQ、BQ之間存在什么數(shù)量關系，寫出這個關系，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）通過SAS證得△APM與△CQM；
（2）由（1）中的全等三角形的面積相等可以推知：S_{四邊形PMQC}=S_△AMC=

1

2

S_△ABC；
（3）AP²+BQ²=PQ²．利用（1）中的全等三角形的對應邊相等推知AP=CQ，則PC=BQ，所以在直角△PCQ中，利用勾股定理推得AP²+BQ²=PQ²．

解答：解：（1）在點P和點Q運動過程中，△APM與△CQM是否保持全等．理由如下：
∵在△ABC中，BC=AC=8厘米，∠C=90°，點M是AB的中點，
∴∠A=∠MCQ=45°，AM=CM，
∴在△APM與△CQM中，

AM=CM ∠A=∠MCQ AP=CQ

，
∴△APM與△CQM（SAS）；

（2）在點P和點Q運動過程中，四邊形PMQC的面積不變化，其面積是32厘米²，理由如下：
由（1）知，△APM與△CQM，
∴S_△APM=S_△CQM，
∴S_{四邊形PMQC}=S_△AMC=

1

2

S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×8=32（厘米²），即在點P和點Q運動過程中，四邊形PMQC的面積不變化，其面積是32厘米²；

（3）AP²+BQ²=PQ²．證明如下：
∵由（1）知，△APM與△CQM，
∴AP=CQ，
又AC=BC，
∴PC=BQ，
∴AP²+BQ²=CQ²+CP²=PQ²．即AP²+BQ²=PQ²．

點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理．全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．