(10分)如圖,以線段AB為直徑的⊙O交線段AC于點E,點D是AE的中點,連接OD并延長交⊙O于點M,∠BOE=60°,cosC=,BC=

(1)求的度數(shù);

(2)求證:BC是⊙的切線;

(3)求弧AM的長度.

(1)30°;(2)證明見試題解析;(3)

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)三角函數(shù)的知識即可得出∠A的度數(shù).

(2)要證BC是⊙O的切線,只要證明AB⊥BC即可.

(3)根據(jù)垂徑定理求得∠AOM=60°,運用三角函數(shù)的知識求出OA的長度,即可求得弧AM的長度.

試題解析:(1)∵OA=OE,∴∠A=∠OEA,∵∠BOE=∠A+∠OEA=2∠A,∴∠A=∠BOE=×60°=30°;

(2)在△ABC中,∵cosC=,∴∠C=60°,又∵∠A=30°,∴∠ABC=90°,∴AB⊥BC,∵AB為直徑,∴BC是⊙O的切線;

(3)∵點D是AE的中點,∴OM⊥AE,∵∠A=30°,∴∠AOM=60°,在RT△ABC中,tanC=,∵BC=,∴AB=BC•tanC==6,∴OA=AB=3,∴弧AM的長==π.

考點:切線的判定.

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