(2005•大連)如圖,P是y軸上一動(dòng)點(diǎn),是否存在平行于y軸的直線x=t,使它與直線y=x和直線y=-x+2分別交于點(diǎn)D、E(E在D的上方),且△PDE為等腰直角三角形?若存在,求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明原因.

【答案】分析:將x=t代入解析式,得到y(tǒng)與t的關(guān)系式,然后根據(jù)直線在y軸的左側(cè)和在y軸的右側(cè)兩種情況并以不同邊為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出t的值,進(jìn)而求出各點(diǎn)坐標(biāo).
解答:解:存在.
方法一:當(dāng)x=t時(shí),y=x=t;
當(dāng)x=t時(shí),y=-x+2=-t+2.
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t+2),D點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t).(2分)
∵E在D的上方,
∴DE=-t+2-t=-t+2,且t<.(3分)
∵△PDE為等腰直角三角形,
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD.(4分)
若t>0,PE=DE時(shí),-t+2=t,
∴t=,-t+2=
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).(5分)
若t>0,PD=DE時(shí),-t+2=t,
∴t=,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).(6分)
若t>0,PE=PD時(shí),即DE為斜邊,
∴-t+2=2t(7分)
∴t=,DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t+1),
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,).(8分)
若t<0,PE=DE和PD=DE時(shí),由已知得DE=-t,-t+2=-t,t=4>0(不符合題意,舍去),
此時(shí)直線x=t不存在.(10分)
若t<0,PE=PD時(shí),即DE為斜邊,由已知得DE=-2t,-t+2=-2t,(11分)
∴t=-4,t+1=0,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).(12分)
綜上所述:當(dāng)t=時(shí),△PDE為等腰直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)或(0,);
當(dāng)t=時(shí),△PDE為等腰直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,);
當(dāng)t=-4時(shí),△PDE為等腰直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).

方法二:設(shè)直線y=-x+2交y軸于點(diǎn)A,交直線y=x于點(diǎn)B,過B點(diǎn)作BM垂直于y軸,垂足為M,交DE于點(diǎn)N.
∵x=t平行于y軸,
∴MN=|t|.(1分)

解得x=,y=,
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(,),
∴BM=
當(dāng)x=0時(shí),y=-x+2=2,
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),
∴OA=2.(3分)
∵△PDE為等腰直角三角形,
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD.(4分)
如圖,若t>0,PE=DE和PD=DE時(shí),
∴PE=t,PD=t,
∵DE∥OA,
∴△BDE∽△BOA,
=.(5分)
=,
∴t=
當(dāng)t=時(shí),y=-x+2=,y=x=
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)或(0,).(6分)
若t>0,PD=PE時(shí),即DE為斜邊,
∴DE=2MN=2t.
∵DE∥OA,
∴△BDE∽△BOA,
=(7分)
=,
∴MN=t=,DE中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t+1=,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)(8分)
如圖,
若t<0,PE=DE或PD=DE時(shí),
∵DE∥OA,
∴△BDE∽△BOA,
=(9分)
DE=-4(不符合題意,舍去),此時(shí)直線x=t不存在.(10分)
若t<0,PE=PD時(shí),即DE為斜邊,
∴DE=2MN=-2t,
∵DE∥OA,
∴△BDE∽△BOA,
=(11分)

∴MN=4,
∴t=-4,t+1=0,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).(12分)
綜上述所述:當(dāng)t=時(shí),△PDE為等腰直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)或(0,);
當(dāng)t=時(shí),△PDE為等腰直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,);當(dāng)t=-4時(shí),
△PDE為等腰直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).
點(diǎn)評(píng):此題難度很大,涉及變量較多,解答時(shí)需要將x轉(zhuǎn)化為t,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理,由于情況較多,容易造成漏解,故解答時(shí)要仔細(xì).
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(2)直線y=kx(k<0)交直線y=(m+1)x-3于點(diǎn)P,交拋物線y=-x2+(m+2)x-3(m-1)于點(diǎn)M,過M點(diǎn)作x軸垂線,垂足為D,交直線y=(m+1)x-3于點(diǎn)N.問:△PMN能否為等腰三角形?若能,求k的值;若不能,請(qǐng)說明理由.

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