已知關(guān)于的方程x2+ax+b=0(b≠0)與x2+cx+d=0都有實(shí)數(shù)根,若這兩個(gè)方程有且只有一個(gè)公共根,且ab=cd,則稱它們互為“同根輪換方程”.如x2-x-6=0與x2-2x-3=0互為“同根輪換方程”.
(1)若關(guān)于x的方程x2+4x+m=0與x2-6x+n=0互為“同根輪換方程”,求m的值;
(2)若p是關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(b≠0)的實(shí)數(shù)根,q是關(guān)于x的方程x2+2ax+
1
2
b=0
的實(shí)數(shù)根,當(dāng)p、q分別取何值時(shí),方程x2+ax+b=0(b≠0)與x2+2ax+
1
2
b=0
互為“同根輪換方程”,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)方程x2+4x+m=0與x2-6x+n=0互為“同根輪換方程”,得到m、n之間的關(guān)系為4m=-6n.然后設(shè)t是公共根,則有t2+4t+m=0,t2-6t+n=0.
解得,t=
n-m
10
. 從而利用(-
m
6
2+4(-
m
6
)+m=0,求得m=-12;
(2)根據(jù)x2-x-6=0與x2-2x-3=0互為“同根輪換方程”,得到它們的公共根是3,從而得到當(dāng)p=q=-3a時(shí),有9a2-3a2+b=0.解得,b=-6a2.解得,p=-3a,x1=2a;q=-3a,x2=a,從而證得方程x2+ax+b=0(b≠0)與x2+2ax+
1
2
b=0互為“同根輪換方程”.
解答:解:(1)∵方程x2+4x+m=0與x2-6x+n=0互為“同根輪換方程”,
∴4m=-6n.                       
設(shè)t是公共根,則有t2+4t+m=0,t2-6t+n=0.
解得,t=
n-m
10
.                    
∵4m=-6n.∴t=-
m
6
.         
∴(-
m
6
2+4(-
m
6
)+m=0.
∴m=-12.                          

(2)∵x2-x-6=0與x2-2x-3=0互為“同根輪換方程”,
它們的公共根是3.                    
而 3=(-3)×(-1)=-3×(-1).
又∵x2+x-6=0與x2+2x-3=0互為“同根輪換方程”.
它們的公共根是-3.
而-3=-3×1.
∴當(dāng)p=q=-3a時(shí),
有9a2-3a2+b=0.
解得,b=-6a2
∴x2+ax-6a2=0,x2+2ax-3a2=0.
解得,p=-3a,x1=2a;q=-3a,x2=a.
∵b≠0,∴-6a2≠0,∴a≠0.
∴2a≠a.即x1≠x2.                    
又∵2a×
1
2
b=ab,…(6分)
∴方程x2+ax+b=0(b≠0)與x2+2ax+
1
2
b=0互為“同根輪換方程”.
點(diǎn)評(píng):本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是了解“同根輪換方程的定義”.
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