Question

學(xué)了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系后，小亮興奮地說：“若設(shè)一元二次方程的兩個根為x₁，x₂，就能快速求出

1

x1

+

1

x2

，x12+x22，…的值了．比如設(shè)x₁，x₂是方程x²+2x+3=0的兩個根，則x₁+x₂=-2，x₁x₂=3，得

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=-

2

3

．”
（1）小亮的說法對嗎？簡要說明理由；
（2）寫一個你最喜歡的一元二次方程，并求出兩根的平方和．

Answer 1

分析：一般情況下可以這樣計算

1

x1

+

1

x2

、x₁²+x₂²的值，但是若有一根為零時，就無法計算

1

x1

+

1

x2

的值了．

解答：解：（1）小亮的說法不對．
若有一根為零時，就無法計算

1

x1

+

1

x2

的值了，因為零作除數(shù)無意義．

（2）所喜歡的一元二次方程x²-5x-6=0．
設(shè)方程的兩個根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=5，x₁•x₂=-6．
又∵x₁²+x₂²=x₁²+x₂²+2x₁x₂-2x₁x₂=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
將x₁+x₂=5，x₁•x₂=-6代入，得
x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂
=5²-2×（-6）
=37．

點評：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．