Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），B（3，4），C（6，0），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以1個(gè)單位/秒的速度在y軸上向下運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度在x軸上向左運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作RP⊥y軸，交OB于R，連接RQ．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，兩動(dòng)點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）若t=1，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；
（2）在線段OB上是否存在點(diǎn)R，使△ORQ與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，RP⊥y軸，可利用解直角三角形求出R的縱橫坐標(biāo)．
（2）△ORQ與△ABC相似，由于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的不同，三角形存在不同的相似，所以應(yīng)分情況討論．
即①點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O（不與O重合）時(shí)，因?yàn)榻遣幌嗟�，所以此種情況不成立．
②當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)Q與O重合時(shí)，△ORQ變成線段OR，故不可能與△ABC相似．
③如圖，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，即點(diǎn)Q從原點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，可得到兩個(gè)數(shù)值，但兩個(gè)數(shù)值均滿足題意，所以都成立．
解答：解：（1）∵A（0，4），B（3，4），
∴AB⊥y軸，AB=3．
∵RP⊥y軸，
∴∠OPR=∠OAB=90°．
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB，
∴．
當(dāng)t=1時(shí)，AP=1，OP=3，
∴，
∴．
∵R的縱坐標(biāo)等于OP的長(zhǎng)，
∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為（，3）．

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則D（3，0）
在△BOC中，
∵OD=DC=3，且BD⊥OC，
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB，
∴，
∵在Rt△OBD中，
∴，
∴．
由題意得，AP=t，CQ=2t（0≤t≤4）．
分三種情況討論：
①當(dāng)0≤t＜3時(shí)，即點(diǎn)Q從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O（不與O重合）時(shí)，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x軸，
∴∠BOC=∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC，∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC，∠BOC＞∠BAC，
∴當(dāng)0≤t＜3時(shí)，△ORQ與△ABC不可能相似．
②當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)Q與O重合時(shí)，△ORQ變成線段OR，故不可能與△ABC相似．
③如圖，當(dāng)3＜t≤4時(shí)，即點(diǎn)Q從原點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵BD∥y軸
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC                         
當(dāng)時(shí)，
∵OQ=2t-6，
∴，
∴．
當(dāng)時(shí)，
同理可求得．
經(jīng)檢驗(yàn)和均在3＜t≤4內(nèi)，
∴所有滿足要求的t的值為和．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用，會(huì)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行綜合分析并分情況討論．