Question

如圖Rt△ABC中，∠A=90°，tanB=

3

4

，點(diǎn)D以每秒4個(gè)單位的速度從點(diǎn)B沿BA向終點(diǎn)A移動，點(diǎn)E、F分別在線段BC，AC上，且四邊形ADEF是矩形，設(shè)AB長為a，運(yùn)動時(shí)間為x，矩形ADEF的面積為y，已知y是x的函數(shù)，其圖象是過點(diǎn)（1，24）的拋物線的一部分．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（用含a的代數(shù)式表示）；并求AB的長；
（2）在（1）的條件下求：
①當(dāng)x為何值時(shí)，矩形ADEF的面積最大，并求出最大值．
②以線段AF為直徑作⊙O₁，以線段BE為直徑作⊙O₂，根據(jù)⊙O₁和⊙O₂的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求相應(yīng)的x的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據(jù)三角形的性質(zhì)，得出AD、DE的表示式，從而得出所求的函數(shù)，然后利用拋物線的性質(zhì)求出AB的長；根據(jù)所求的函數(shù)，在限定的范圍內(nèi)，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可求出最高點(diǎn)，從而求出面積的最大值；根據(jù)兩圓心之間的距離及半徑的關(guān)系進(jìn)行分析即可得出所求．

解答：解：（1）由圖形及題意可知：
AD=a-4x，BD=4x，
又tanB=

3

4

，
所以

DE

BD

=

3

4

，則DE=3x，
因此矩形ADEF的面積為y=AD×DE=（a-4x）×3x=-12x²+3ax，
即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-12x²+3ax，
又∵y=-12x²+3ax的圖象是過點(diǎn)（1，24）的拋物線的一部分，
∴24=-12×1+3a
解得a=12
即AB的長為12；

（2）①由（1）知，y=-12x²+36x
所以y=-12(x- 

3

2

) 2+27，
則知當(dāng)x=

3

2

時(shí)，矩形ADEF的面積最大，最大值為27；
②AF=DE=3x，BE=5x，
則可知⊙O1的半徑為1.5x，⊙O2的半徑為2.5x，兩圓心之間的距離為12-2x，
當(dāng)兩圓有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即4x=12-2x，
解得：x=2
所以當(dāng)兩圓有0個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x＜2；
當(dāng)兩圓有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x＜12-2x＜4x
∴2＜x≤3．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．同時(shí)結(jié)合了圖形及面積的計(jì)算，是一道不可多得的好題．