Question

如圖，半徑為6.5的⊙O′經過原點O，并且與x軸、y軸分別交于A、B兩點，線段OA、OB（OA＞OB）的長分別是方程x²+kx+60=0的兩根．
（1）求A、B兩點的距離以及點A和點B的坐標；
（2）已知點C在劣弧OA上，連接BC交OA于D，當OC²=CD•BC時，求點C的坐標；
（3）若在以點C為頂點，且過點B的拋物線上和在⊙O′上是否分別存在點P，使△ABD的面積等于△POD的面積，即S_△ABD=S_△POD？若存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據根與系數的關系寫出OA+OB和OA•OB的值．連接AB，根據90°的圓周角所對的弦是直徑，再結合勾股定理列方程求解．
（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，則∠COD=∠CBO，然后判斷點C是弧OA的中點，連接O′C，根據垂徑定理的推論，得O′C⊥OA．再進一步根據垂徑定理和勾股定理進行計算即可．
（3）根據相似三角形OBD和ECD求出OD的長，那么S_△ABD=S_△POD，可據此求出三角形POD中OD邊上的高，然后同圓O′中點到x軸的最大距離進行比較即可得出P是否在圓上．
解答：解：（1）連接AB，

∵∠BOA=90°，
∴AB為直徑，由根與系數關系得OA+OB=-k，OA•OB=60，
根據勾股定理，得OA²+OB²=169，
即（OA+OB）²-2OA•OB=169，
解得k²=289，
故k=±17（正值舍去）．
則有方程x²-17x+60=0，
解得：x=12或5．
又∵OA＞OB，
∴OA=12，OB=5．

（2）若OC²=CD•CB，則△OCB∽△DCO，
∴∠COD=∠CBO，
又∵∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
∴點C是弧OA的中點．
連接O′C交OA于點E，根據垂徑定理的推論，得O′C⊥OA，

根據垂徑定理，得OE=6，根據勾股定理，得O′E=2.5，
故CE=4，即點C坐標為（6，-4）．

（3）假定在⊙上存在點P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴=，即=，
解得OD=，
∴S_△ABD=AD•BO=，
∴S_△POD=，
故可得在△POD中，OD邊上的高為13，即點P到x軸的距離為13，
∵⊙上的點到x軸的最大距離為9，
∴點P不在⊙上，
故在⊙上不存在點P，使S_△ABD=S_△POD．
點評：本題考查了圓的綜合題目，涉及了一元二次方程的根與系數的關系，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法、圓周角定理、相似三角形的判定和性質等知識，注意所學知識的融會貫通．