Question

如圖，把兩個(gè)全等的Rt△AOB和Rt△COD分別置于平面直角坐標(biāo)系中，使直角邊OB、OD在x軸上．已知點(diǎn)A（1，2），過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)E、F．拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)O、A、C三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）點(diǎn)P為線段OC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P，使得四邊形ABPM為等腰梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）若△AOB沿AC方向平移（點(diǎn)A始終在線段AC上，且不與點(diǎn)C重合），△AOB在平移過(guò)程中與△COD重疊部分面積記為S．試探究S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）y=x²+x；（2）（，）；（3）

試題分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、C即可根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，由PN∥CD，可證得△OPN∽△OCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=，則可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（t，），由點(diǎn)M在拋物線上可得M（t，t²+t），過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AB于G，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB于H，則AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，BH=PN=，當(dāng)AG=BH時(shí)，四邊形ABPM為等腰梯形，即可得到關(guān)于t的方程，解出即可得到結(jié)果；
（3）如解答圖2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．求得過(guò)A、C的直線為y_AC=﹣x+3，可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而表示出A′Q的長(zhǎng)，先求出tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，即可表示出KT、OK，過(guò)點(diǎn)R作RH⊥x軸于H，先表示出S關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、A、C，
可得c=0，∴
解得a=，b=，
∴拋物線解析式為y=x²+x．
（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=
∴P（t，），∵點(diǎn)M在拋物線上，∴M（t，t²+t）．
如解答圖1，過(guò)M點(diǎn)作MG⊥AB于G，過(guò)P點(diǎn)作PH⊥AB于H，
AG=y_A﹣y_M=2﹣（t²+t）=t²﹣t+2，BH=PN=．
當(dāng)AG=BH時(shí)，四邊形ABPM為等腰梯形，
∴t²﹣t+2=，
化簡(jiǎn)得3t²﹣8t+4=0，解得t₁=2（不合題意，舍去），t₂=，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）
∴存在點(diǎn)P（，），使得四邊形ABPM為等腰梯形．
（3）如解答圖2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x軸于T，交OC于Q，A′O′交x軸于K，交OC于R．
求得過(guò)A、C的直線為y_AC=﹣x+3，可設(shè)點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)A′（a，﹣a+3），

易知△OQT∽△OCD，可得QT=，OH=2RH
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，）．
A′Q=﹣a+3﹣=（3﹣a）
∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，
∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，
∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，
過(guò)點(diǎn)R作RH⊥x軸于H，
∵tan∠OAB=tan∠KRH==2，
∴RH=2KH，OH=4RH=2a﹣2
∴HT=a-(2 a﹣2)=2-a
S_{四邊形RKTQ}=S_△A′KT﹣S_△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•HT
=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）
=a²+a﹣=（a﹣）²+
由于＜0，
∴在線段AC上存在點(diǎn)A′（，），能使重疊部分面積S取到最大值，最大值為．
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.